数学(理系)の第1問（2024京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　 $n \;$ 個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を $\; p_n \;$ とする。次の問いに答えよ。

$\; (1) \; \; \; p_4 \;$ を求めよ。

$\displaystyle \; (2) \; \; \; \lim_{n \to \infty} p_n \;$ を求めよ。

解答

立方体の面の数は $\; 6 \;$ だから、塗る色は $\; 6 \;$ 色以下となる。また、 $\; 1 \;$ つの頂点に集まる面の数が $\; 3 \;$ だから、題意のような塗り方をするためには $\; 3 \;$ 色以上の色を用意しなければならない。

$\; (1) \; \; \; 4 \;$ 色の色を用意するとき、立方体の $\; 6 \;$ 面の色の塗り方は

　　　　　 $4^6 \;$ （通り）

また、このとき、題意のように塗ると、 $\; 3 \;$ または $\; 4 \;$ 色で塗ることができる。

$\; (\mathrm{i}) \; \; \; 3 \;$ 色で塗るとき

$\; 3 \;$ つ以上の面に同じ色を塗ることはできない。辺を共有しない $\; 2 \;$ つの面の組、つまり向かい合う $\; 2 \;$ つの面は $\; 3 \;$ 組あり、そのうち $\; 3 \;$ 組に同じ色を塗れば $\; 3 \;$ 色で塗ることができるから、その選び方は　 ${}_3 C _3 \;$ （通り）

$\; 4 \;$ 色から $\; 3 \;$ 色選んで塗る塗り方は　 ${}_4 P _3 \;$ （通り）

よって、 ${}_3 C _3 \times {}_4 P _3 =24 \;$ （通り）

$\; (\mathrm{ii}) \; \; \; 4 \;$ 色で塗るとき

同様に、向かい合う面 $\; 3 \;$ 組のうち $\; 2 \;$ 組に同じ色を塗れば、 $\; 4 \;$ 色で塗ることができるから、その選び方は　 ${}_3 C _2 \;$ （通り）

$\; 4 \;$ 色から $\; 4 \;$ 色選んで塗る塗り方は　 ${}_4 P _4 \;$ （通り）

よって、 ${}_3 C _2 \times {}_4 P _4 =72 \;$ （通り）

したがって、

　　 $\displaystyle \; p_4 = \frac{24+72}{4^6} = \frac{3}{128} \;$

$\; (2) \; \; \; n \;$ 色の色を用意するとき、 $\; (1) \;$ と同様にする。

この問題は $\; n \geqq 6 \;$ として良く、その色の塗り方は、 $n^6 \;$ （通り）

また、このとき、立方体の $\; 6 \;$ 面を題意のように塗ると、 $\; 3 \;$ または $\; 4,\; \; \; 5,\; \; \; 6 \;$ 色で塗ることができる。

$\; (\mathrm{i}) \; \; \; 3 \;$ 色で塗るときの題意のような確率を求め、 $\; n \rightarrow \infty \;$ のとき

$\displaystyle \frac{{}_3 C _3 \times {}_n P _3}{n^6} =\frac{n(n-1)(n-2)}{n^6}= \cfrac{\Big(1- \cfrac{1}{n}\Big)\Big(1- \cfrac{2}{n}\Big)}{n^3} \rightarrow 0 \;$

$\; (\mathrm{ii}) \; \; \; 4 \;$ 色で塗るときの題意のような確率を求め、 $\; n \rightarrow \infty \;$ のとき

$\displaystyle \frac{{}_3 C _2 \times {}_n P _4}{n^6} =\frac{3n(n-1)(n-2)(n-3)}{n^6}= \cfrac{3\Big(1- \cfrac{1}{n}\Big)\Big(1- \cfrac{2}{n}\Big)\Big(1- \cfrac{3}{n}\Big)}{n^2} \rightarrow 0 \;$

$\; (\mathrm{iii}) \; \; \; 5 \;$ 色で塗るときの題意のような確率を求め、 $\; n \rightarrow \infty \;$ のとき

$\displaystyle \frac{{}_3 C _1 \times {}_n P _5}{n^6} =\frac{3n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{n^6}= \cfrac{3\Big(1- \cfrac{1}{n}\Big)\Big(1- \cfrac{2}{n}\Big)\Big(1- \cfrac{3}{n}\Big)\Big(1- \cfrac{4}{n}\Big)}{n} \rightarrow 0 \;$

$\; (\mathrm{iv}) \; \; \; 6 \;$ 色で塗るときの題意のような確率を求め、 $\; n \rightarrow \infty \;$ のとき

$\displaystyle \frac{{}_3 C _0 \times {}_n P _6}{n^6} =\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{n^6}= \Big(1- \frac{1}{n}\Big)\Big(1- \frac{2}{n}\Big)\Big(1- \frac{3}{n}\Big)\Big(1- \frac{4}{n}\Big)\Big(1- \frac{5}{n}\Big) \rightarrow 1 \;$

したがって、

$\displaystyle \; \lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} \frac{{}_3 C _3 \times {}_n P _3 + {}_3 C _2 \times {}_n P _4 + {}_3 C _1 \times {}_n P _5 + {}_3 C _0 \times {}_n P _6}{n^6} \;$

　　　　 $\displaystyle \; = \lim_{n \to \infty} \frac{{}_3 C _3 \times {}_n P _3}{n^6} + \lim_{n \to \infty} \frac{{}_3 C _2 \times {}_n P _4}{n^6} + \lim_{n \to \infty} \frac{{}_3 C _1 \times {}_n P _5}{n^6} + \lim_{n \to \infty} \frac{{}_3 C _0 \times {}_n P _6}{n^6} \;$