高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

問題

${\Large 6}.$ 　 $\displaystyle \frac{x }{b+c }=\frac{y }{c+a }=\frac{z }{a+b }\;$ のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ。

　　　　　 $a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0$

解答

$\displaystyle \frac{x }{b+c }=\frac{y }{c+a }=\frac{z }{a+b }=k\;$ とおくと

　　　　　 $x=k(b+c),\; \; y=k(c+a),\; \; z=k(a+b)$

これらより　 $y-z=k(c+a)-k(a+b)=k(c-b)$

　　　　　　 $z-x=k(a+b)-k(b+c)=k(a-c)$

　　　　　　 $x-y=k(b+c)-k(c+b)=k(b-a)$

よって　 $a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)$

　　　 $\; \; =ak(c-b)+bk(a-c)+ck(b-a)$

　　　 $\; \; =k(ca-ab+ab-bc+bc-ca)$

　　　 $\; \; =0$ 　　　　　　　　　　　　　　（終）

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