数学(理系)の第5問(2017大阪大学入試)
問題
第 問
平面上で放物線
と直線
で囲まれた図形を,
軸のまわりに
回転してできる回転体を
とおく。回転体
に含まれる点のうち,
平面上の直線
からの距離が
以下のもの全体がつくる立体を
とおく。
を
を満たす実数とする。
平面上の点
を通り,
軸に直交する平面による
の切り口の面積を
とする。
のとき,
を
を用いてあらわせ。
の体積
を求めよ。
解答
の切り口は,半径
の円と半径
の円の重なった部分である。切り口は
平面について対称な図形だから,
平面で切って,その一方の面積を考える。それは
つのおうぎ形の和から二等辺三角形を引いたものになる。
軸上に中心のあるおうぎ形は,中心角を
とすると,半径
で,面積は
直線上に中心のあるおうぎ形は,中心角
,半径
で、面積は
二等辺三角形は,頂角,底辺
,等辺
で,面積は
また,底辺は だから
のとき
のとき
となる。
したがって とおくと
より
ここで
ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)