高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第5問(2017大阪大学入試)

問題

          第 5 問

 xy\; 平面上で放物線\; y=x^2\; と直線\; y=2\; で囲まれた図形を,y\; 軸のまわりに\; 1\; 回転してできる回転体を\; L\; とおく。回転体\; L\; に含まれる点のうち,xy\; 平面上の直線\; x=1\; からの距離が\; 1\; 以下のもの全体がつくる立体を\; M\; とおく。

(1)\; \; t\; \; 0 \leqq t \leqq 2\; を満たす実数とする。xy\; 平面上の点\; (0,\, t)\; を通り,y\; 軸に直交する平面による\; M\; の切り口の面積を\; S(t)\; とする。\displaystyle t=(2\cos \theta )^2\; \; \left( \frac{\pi }{4 } \leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2 } \right) \; のとき,S(t)\; \; \theta \; を用いてあらわせ。

(2) M\; の体積\; V\; を求めよ。

解答

(1)\; \; M\; の切り口は,半径\; \sqrt{t }\; の円と半径\; 1\; の円の重なった部分である。切り口は\; xy\; 平面について対称な図形だから,xy\; 平面で切って,その一方の面積を考える。それは\; 2\; つのおうぎ形の和から二等辺三角形を引いたものになる。

y\; 軸上に中心のあるおうぎ形は,中心角を\; \theta \; とすると,半径\; \sqrt{t }\; で,面積は \displaystyle \frac{1 }{2 } (\sqrt{t })^2 \theta =\frac{1 }{2 } \theta t

直線\; x=1\; 上に中心のあるおうぎ形は,中心角\; (\pi -2\theta )\; ,半径\; 1\; で、面積は \displaystyle \frac{1 }{2 } \times 1^2 \times (\pi -2\theta ) =\frac{\pi }{2 } -\theta  

二等辺三角形は,頂角\; (\pi -2\theta )\; ,底辺\; \sqrt{t } \; ,等辺\; 1\; で,面積は \displaystyle \frac{1 }{2 } \times 1 \times 1 \times \sin (\pi -2\theta ) =\frac{1 }{2 } \sin 2\theta  

また,底辺は \; \sqrt{t } =2\cos \theta \; だから t=(2\cos \theta )^2\

t=2\; のとき \displaystyle \theta = \frac{\pi }{4 }   t \rightarrow 0\; のとき \displaystyle \theta \rightarrow \frac{\pi }{2 } \; となる。

したがって \displaystyle t=(2\cos \theta )^2\; \; \left( \frac{\pi }{4 } \leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2 } \right) \; とおくと

\displaystyle S(t)=2\left( \frac{1 }{2 } \theta t +\frac{\pi }{2 } -\theta -\frac{1 }{2 } \sin 2\theta \right)

  \displaystyle = \theta t + \pi -2 \theta  - \sin 2\theta = \theta (2\cos \theta )^2 + \pi -2 \theta  - \sin 2\theta

  \displaystyle =2 \theta (2\cos^2 \theta -1)  - \sin 2\theta+ \pi = 2\theta \cos 2\theta - \sin 2\theta + \pi

(2)\; \; t=(2\cos \theta )^2=4\cos^2 \theta \; より dt=-4\sin 2\theta d\theta

\displaystyle V= \int_{0}^{2} S(t)dt=\int_{\frac{\pi }{2 } }^{\frac{\pi }{4 } } (2\theta \cos 2\theta - \sin 2\theta + \pi )(-4\sin 2\theta )d\theta

 \displaystyle = \int_{\frac{\pi }{4 } }^{\frac{\pi }{2 } } (4\theta \sin 4\theta +2\cos 4\theta -2+4\pi \sin 2\theta )d\theta

ここで \displaystyle \int 4\theta \sin 4\theta d\theta =-\theta \cos 4\theta +\int \cos 4\theta d\theta =-\theta \cos 4\theta + \frac{1 }{4 } \sin 4\theta 

\displaystyle V=\left[ -\theta \cos 4\theta +\frac{1 }{4 } \sin 4\theta + \frac{1 }{2 } \sin 4 \theta -2\theta -2 \pi \cos 2\theta \right]_{\frac{\pi }{4 } }^{\frac{\pi }{2 } }

 \displaystyle =\left[ -\theta \cos 4\theta +\frac{3 }{4 } \sin 4\theta -2\theta -2 \pi \cos 2\theta \right]_{\frac{\pi }{4 } }^{\frac{\pi }{2 } }

 \displaystyle =\left( -\frac{\pi }{2 } -\pi +2\pi \right) -\left( \frac{\pi }{4 } -\frac{\pi }{2 } \right) =\frac{3\pi }{4 }

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)