数学(理系)の第5問（2017大阪大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $5$ 　問

　 $xy\;$ 平面上で放物線 $\; y=x^2\;$ と直線 $\; y=2\;$ で囲まれた図形を， $y\;$ 軸のまわりに $\; 1\;$ 回転してできる回転体を $\; L\;$ とおく。回転体 $\; L\;$ に含まれる点のうち， $xy\;$ 平面上の直線 $\; x=1\;$ からの距離が $\; 1\;$ 以下のもの全体がつくる立体を $\; M\;$ とおく。

$(1)\; \; t\;$ を $\; 0 \leqq t \leqq 2\;$ を満たす実数とする。 $xy\;$ 平面上の点 $\; (0,\, t)\;$ を通り， $y\;$ 軸に直交する平面による $\; M\;$ の切り口の面積を $\; S(t)\;$ とする。 $\displaystyle t=(2\cos \theta )^2\; \; \left( \frac{\pi }{4 } \leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2 } \right) \;$ のとき， $S(t)\;$ を $\; \theta \;$ を用いてあらわせ。

$(2)$ 　 $M\;$ の体積 $\; V\;$ を求めよ。

解答

$(1)\; \; xy \;$ 平面上の点 $\; (0,\, t)\;$ を通り $\; y\;$ 軸に直交する平面を $\; \alpha \;$ とする。

回転体 $\; L\;$ の平面 $\; \alpha \;$ による切り口は、中心 $\; (0,\, t)\;$ で半径 $\; \sqrt{t }\;$ の円になる。

また、 $xy\;$ 平面上の直線 $\; x=1\;$ からの距離が $\; 1\;$ 以下のもの全体がつくる立体は円柱形である。その立体の平面 $\; \alpha \;$ による切り口は、中心 $\; (1,\, t)\;$ で半径 $\; 1 \;$ の円になる。

この $\; M\;$ の切り口は，この半径 $\; \sqrt{t }\;$ の円と半径 $\; 1\;$ の円の重なった部分である。切り口は中心を通る直線について対称な図形だから，それで切って，その一方の面積を考える。それは $\; 2\;$ つのおうぎ形の和から二等辺三角形を引いたものになる。

$y\;$ 軸上に中心のあるおうぎ形は，中心角を $\; \theta \;$ とすると，半径 $\; \sqrt{t }\;$ で，面積は　 $\displaystyle \frac{1 }{2 } (\sqrt{t })^2 \theta =\frac{1 }{2 } \theta t$

直線 $\; x=1\;$ 上に中心のあるおうぎ形は，中心角 $\; (\pi -2\theta )\;$ ，半径 $\; 1\;$ で、面積は　 $\displaystyle \frac{1 }{2 } \times 1^2 \times (\pi -2\theta ) =\frac{\pi }{2 } -\theta$

二等辺三角形は，頂角 $\; (\pi -2\theta )\;$ ，底辺 $\; \sqrt{t } \;$ ，等辺 $\; 1\;$ で，面積は　 $\displaystyle \frac{1 }{2 } \times 1 \times 1 \times \sin (\pi -2\theta ) =\frac{1 }{2 } \sin 2\theta$

また，底辺は　 $\; \sqrt{t } =2\cos \theta \;$ だから　 $t=(2\cos \theta )^2\$

$t=2\;$ のとき　 $\displaystyle \theta = \frac{\pi }{4 }$ 　　 $t \rightarrow 0\;$ のとき　 $\displaystyle \theta \rightarrow \frac{\pi }{2 } \;$ となる。

したがって　 $\displaystyle t=(2\cos \theta )^2\; \; \left( \frac{\pi }{4 } \leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2 } \right) \;$ とおくと

$\displaystyle S(t)=2\left( \frac{1 }{2 } \theta t +\frac{\pi }{2 } -\theta -\frac{1 }{2 } \sin 2\theta \right)$

　　 $\displaystyle = \theta t + \pi -2 \theta - \sin 2\theta = \theta (2\cos \theta )^2 + \pi -2 \theta - \sin 2\theta$

　　 $\displaystyle =2 \theta (2\cos^2 \theta -1) - \sin 2\theta+ \pi = 2\theta \cos 2\theta - \sin 2\theta + \pi$

$(2)\; \; t=(2\cos \theta )^2=4\cos^2 \theta \;$ より　 $dt=-4\sin 2\theta d\theta$

$\displaystyle V= \int_{0}^{2} S(t)dt=\int_{\frac{\pi }{2 } }^{\frac{\pi }{4 } } (2\theta \cos 2\theta - \sin 2\theta + \pi )(-4\sin 2\theta )d\theta$

　 $\displaystyle = \int_{\frac{\pi }{4 } }^{\frac{\pi }{2 } } (4\theta \sin 4\theta +2\cos 4\theta -2+4\pi \sin 2\theta )d\theta$

ここで　 $\displaystyle \int 4\theta \sin 4\theta d\theta =-\theta \cos 4\theta +\int \cos 4\theta d\theta =-\theta \cos 4\theta + \frac{1 }{4 } \sin 4\theta$

$\displaystyle V=\left[ -\theta \cos 4\theta +\frac{1 }{4 } \sin 4\theta + \frac{1 }{2 } \sin 4 \theta -2\theta -2 \pi \cos 2\theta \right]_{\frac{\pi }{4 } }^{\frac{\pi }{2 } }$