演習問題Bの4（p.46，数学B，数研）

問題

${\Large 4}.$ 　 $\bigm| \overrightarrow{a } \bigm| =2,\; \; \bigm| \overrightarrow{b } \bigm| =3,\; \; \bigm| \overrightarrow{a }-\overrightarrow{b } \bigm| =4\;$ とする。

$(1)$ 　内積 $\; \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } \;$ を求めよ。

$(2)\; \; \bigm| \overrightarrow{a } +t\overrightarrow{b } \bigm| \;$ を最小にする実数 $\; t\;$ の値 $\; t_0\;$ とその最小値を求めよ。

$(3)\; \; (2)\;$ の $\; t_0\;$ に対して， $\overrightarrow{a } +t_0\overrightarrow{b } \;$ と $\; \overrightarrow{b } \;$ は垂直であることを確かめよ。

解答

$(1)\; \; \bigm| \overrightarrow{a }-\overrightarrow{b } \bigm| \, =4\;$ より　 $\bigm| \overrightarrow{a }-\overrightarrow{b } \bigm|^2 \, =16$

$\bigm| \overrightarrow{a } \bigm| ^2 -2 \, \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } \, +\bigm| \overrightarrow{b } \bigm|^2 =16\;$ より　 $4 -2 \, \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } +9=16$

ゆえに　 $\displaystyle \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } =-\frac{3 }{2 }$

$\displaystyle (2)\; \; \bigm| \overrightarrow{a } +t \, \overrightarrow{b } \bigm| ^2 =\bigm| \overrightarrow{a } \bigm| ^2 +2t \, \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } +t^2 \bigm| \overrightarrow{b } \bigm|^2 =9t^2-3t+4=9\left( t-\frac{1 }{6 } \right) ^2 +\frac{15 }{4 }$

よって　 $\bigm| \overrightarrow{a } +t \, \overrightarrow{b } \bigm| ^2 \;$ は　 $\displaystyle t=\frac{1 }{6 } \;$ のとき最小値　 $\displaystyle \frac{15 }{4 } \;$ をとる。

$\bigm| \overrightarrow{a } +t \, \overrightarrow{b } \bigm| \geqq 0\;$ だから，このとき　 $\bigm| \overrightarrow{a } +t \, \overrightarrow{b } \bigm| \;$ も最小となる。

したがって　 $\displaystyle t_0=\frac{1 }{6 } \;$ のとき最小値　 $\displaystyle \frac{\sqrt{15} }{2 }$

$\displaystyle (3)\; \; \left( \overrightarrow{a } + \frac{1 }{6 } \overrightarrow{b } \right) \cdot \overrightarrow{b } = \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } +\frac{1 }{6 }\bigm| \overrightarrow{b } \bigm| ^2 =-\frac{3 }{2 } +\frac{1 }{6 } \times 3^2=0$