高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの4(p.46,数学B,数研)

問題

{\Large 4}. \bigm| \overrightarrow{a } \bigm| =2,\; \; \bigm| \overrightarrow{b } \bigm| =3,\; \; \bigm| \overrightarrow{a }-\overrightarrow{b } \bigm| =4\; とする。

(1) 内積\; \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } \; を求めよ。

(2)\; \; \bigm| \overrightarrow{a } +t\overrightarrow{b } \bigm| \; を最小にする実数\; t\; の値\; t_0\; とその最小値を求めよ。

(3)\; \; (2)\; \; t_0\; に対して,\overrightarrow{a } +t_0\overrightarrow{b } \; \; \overrightarrow{b } \; は垂直であることを確かめよ。

解答

(1)\; \;  \bigm| \overrightarrow{a }-\overrightarrow{b } \bigm| \, =4\; より \bigm| \overrightarrow{a }-\overrightarrow{b } \bigm|^2 \, =16

\bigm| \overrightarrow{a } \bigm| ^2 -2 \, \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } \, +\bigm| \overrightarrow{b } \bigm|^2 =16\; より 4 -2 \, \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } +9=16

ゆえに \displaystyle \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } =-\frac{3 }{2 }

\displaystyle (2)\; \;  \bigm| \overrightarrow{a } +t \, \overrightarrow{b } \bigm| ^2 =\bigm| \overrightarrow{a } \bigm| ^2 +2t \, \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } +t^2 \bigm| \overrightarrow{b } \bigm|^2 =9t^2-3t+4=9\left( t-\frac{1 }{6 } \right) ^2 +\frac{15 }{4 }

よって \bigm| \overrightarrow{a } +t \, \overrightarrow{b } \bigm| ^2 \; は \displaystyle t=\frac{1 }{6 } \; のとき最小値 \displaystyle \frac{15 }{4 } \; をとる。

\bigm| \overrightarrow{a } +t \, \overrightarrow{b } \bigm| \geqq 0\; だから,このとき \bigm| \overrightarrow{a } +t \, \overrightarrow{b } \bigm| \; も最小となる。

したがって \displaystyle t_0=\frac{1 }{6 } \; のとき最小値 \displaystyle \frac{\sqrt{15} }{2 }

\displaystyle (3)\; \; \left( \overrightarrow{a } + \frac{1 }{6 } \overrightarrow{b } \right) \cdot \overrightarrow{b } = \overrightarrow{a } \cdot \overrightarrow{b } +\frac{1 }{6 }\bigm| \overrightarrow{b } \bigm| ^2 =-\frac{3 }{2 } +\frac{1 }{6 } \times 3^2=0

よって \displaystyle \left( \overrightarrow{a } + \frac{1 }{6 } \overrightarrow{b } \right) \perp \overrightarrow{b }

 

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