高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの11(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題

{\Large 11}. a\neq 0\; とする。2\; つの方程式\; ax^2-3x+a=0,\;\; x^2-ax+a^2-3a=0\; について,次の問いに答えよ。

(1) 2\; つの方程式がともに実数解をもつように,定数\; a\; の値の範囲を定めよ。

(2) 2\; つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつように,定数\; a\; の値の範囲を定めよ。

解答

2\; つの方程式は\; a\neq 0\; でともに\; 2\; 次方程式だから,ax^2-3x+a=0,\;\; x^2-ax+a^2-3a=0\; の判別式をそれぞれD_1,\; D_2\; とすると

  D_1=-4a^2+9=-(2a+3)(2a-3)

  D_2=-3a^2+12a=-3a(a-4)

(1) 2\; つの方程式がともに実数解をもつのは,\; D_1\geqq 0\; かつ\; D_2\geqq 0\; である。

  D_1\geqq 0\; より -(2a+3)(2a-3)\geqq 0\; だから (2a+3)(2a-3)\leqq 0

  よって \displaystyle -\frac{3}{2}\leqq a\leqq \frac{3}{2}

  a\neq 0\; だから \displaystyle -\frac{3}{2}\leqq a\lt 0,\;\; 0\lt a\leqq \frac{3}{2}\; \; \cdots (A)

  D_2\geqq 0\; より -3a(a-4)\geqq 0\; だから 3a(a-4)\leqq 0

  よって 0\leqq a\leqq 4

  a\neq 0\; だから 0\lt a\leqq 4\; \; \cdots (B)

  (A),\; \; (B)\; の共通範囲を求めて \displaystyle 0\lt a\leqq \frac{3}{2}

(2) 2\; つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつのは \; D_1\geqq 0\; または\; D_2\geqq 0\; である。

  (A),\; \; (B)\; の範囲を合わせて \displaystyle -\frac{3}{2}\leqq a\lt 0,\;\; 0\lt a\leqq 4

 

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