高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの9(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題

{\Large 9}.\; \; 2\; 次関数\; y=2x^2+4mx+3m\; がある。

(1) この\; 2\; 次関数の最小値\; l\; を,m\; の式で表せ。

(2)\; \; \; \, m\; の値を変化させて,(1)\; における最小値\; l\; が最も大きくなるときの\; m\; の値と,そのときの\; l\; の値を求めよ。

解答

(1)\; \; \; \, y=2x^2+4mx+3m=2(x+m)^2-2m^2+3m

  このグラフは下に凸の放物線だから,x=-m\; で最小となり,最小値は

  l=-2m^2+3m

\displaystyle (2)\; \; \; \, l=-2m^2+3m=-2\left( m-\frac{3}{4}\right) ^2+\frac{9}{8}

  このグラフは上に凸の放物線だから

  \displaystyle m=\frac{3}{4}\; で最大となり,最大値\displaystyle \; l=\frac{9}{8}

 

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