演習問題Bの7（p.75，数学B，数研）

問題

${\Large 7}.$ 　 $3\;$ 点 $\; \mathrm{A}(2,\; \; 0,\; \; 0),\; \; \mathrm{B}(0,\; \; 1,\; \; 0),\; \; \mathrm{C}(0,\; \; 0,\; \; 2)\;$ の定める平面を $\; \alpha \;$ とし，原点 $\; \mathrm{O}\;$ から平面 $\; \alpha \;$ に垂線 $\; \mathrm{OH}\;$ を下ろす。

$(1)$ 　 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}\;$ と表すとき， $\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}\;$ から $\; 4s-t=0,\; \; s-u=0\;$ であることを導け。

$(2)$ 　点 $\; \mathrm{H}\;$ の座標を求めよ。

$(3)$ 　垂線 $\; \mathrm{OH}\;$ の長さを求めよ。

解答

$(1)$ 　 $\; \, \overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}\; \; \cdots (E)$

　　　 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s(2,\; \; 0,\; \; 0)+t(0,\; \; 1,\; \; 0)+u(0,\; \; 0,\; \; 2)$

　　　 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(2s,\; \; t,\; \; 2u)\; \; \cdots (F)$

ここで　 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,\; \; 1,\; \; 0)-(2,\; \; 0,\; \; 0)=(-2,\; \; 1,\; \; 0)$

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\;$ より　 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$

よって　 $(2s,\; \; t,\; \; 2u)\cdot (-2,\; \; 1,\; \; 0)=-4s+t=0\;$ より　 $4s-t=0\;$

また　　 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(0,\; \; 0,\; \; 2)-(2,\; \; 0,\; \; 0)=(-2,\; \; 0,\; \; 2)$

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}\;$ より　 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$

よって　 $(2s,\; \; t,\; \; 2u)\cdot (-2,\; \; 0,\; \; 2)=-4s+4u=0\;$ より　 $s-u=0\;$

$(2)$ 　点 $\; \mathrm{H}\;$ は平面 $\; \alpha \;$ の上にあるから

　　　 $\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+l\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

となる実数 $\; k,\; l\;$ がある。よって

　　　 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+l\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

　　　　　 $=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})+l(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})$

ゆえに　 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-k-l)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{OB}}+l\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

これと $\; (E)\;$ を比べて　 $s=1-k-l,\; \; t=k,\; \; u=l$

これに $\; (1)\;$ を代入して解くと　 $\displaystyle s=\frac{1}{6},\; \; t=\frac{2}{3},\; \; u=\frac{1}{6}\;$

$(F)\;$ に代入すると、点 $\; \mathrm{H}\;$ の座標は　 $\displaystyle \left(\frac{1}{3},\; \; \frac{2}{3},\; \; \frac{1}{3} \right)$

$(3)$ 　 $\mathrm{OH}=\Big|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\Big|$

　　　　　 $\displaystyle =\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3} \right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

別解

$(2)$ 　点 $\; \mathrm{H}\;$ は平面 $\; \alpha \;$ の上にあるから

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}\;$ のとき　 $s+t+u=1\; \; \cdots (G)$