高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの7(p.75,数学B,数研)

問題

{\Large 7}. 3\; \; \mathrm{A}(2,\; \; 0,\; \; 0),\; \; \mathrm{B}(0,\; \; 1,\; \; 0),\; \; \mathrm{C}(0,\; \; 0,\; \; 2)\; の定める平面を\; \alpha \; とし,原点\; \mathrm{O}\; から平面\; \alpha \; に垂線\; \mathrm{OH}\; を下ろす。

(1) \overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}\; と表すとき,\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}\; から\; 4s-t=0,\; \; s-u=0\; であることを導け。

(2) 点\; \mathrm{H}\; の座標を求めよ。

(3) 垂線\; \mathrm{OH}\; の長さを求めよ。

解答

(1) \; \, \overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}\; \; \cdots (E)

   \overrightarrow{\mathrm{OH}}=s(2,\; \; 0,\; \; 0)+t(0,\; \; 1,\; \; 0)+u(0,\; \; 0,\; \; 2)

   \overrightarrow{\mathrm{OH}}=(2s,\; \; t,\; \; 2u)\; \; \cdots (F)

ここで \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,\; \; 1,\; \; 0)-(2,\; \; 0,\; \; 0)=(-2,\; \; 1,\; \; 0)

\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\; より \overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0

よって (2s,\; \; t,\; \; 2u)\cdot (-2,\; \; 1,\; \; 0)=-4s+t=0\; より 4s-t=0\;

また  \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(0,\; \; 0,\; \; 2)-(2,\; \; 0,\; \; 0)=(-2,\; \; 0,\; \; 2)

\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}\; より \overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0

よって (2s,\; \; t,\; \; 2u)\cdot (-2,\; \; 0,\; \; 2)=-4s+4u=0\; より s-u=0\;

(2) 点\; \mathrm{H}\; は平面\; \alpha \; の上にあるから

   \overrightarrow{\mathrm{AH}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+l\overrightarrow{\mathrm{AC}}

となる実数\; k,\; l\; がある。よって

   \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+l\overrightarrow{\mathrm{AC}}

     =\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})+l(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})

ゆえに \overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-k-l)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{OB}}+l\overrightarrow{\mathrm{OC}}

これと\; (E)\; を比べて s=1-k-l,\; \; t=k,\; \; u=l

これに\; (1)\; を代入して解くと \displaystyle s=\frac{1}{6},\; \; t=\frac{2}{3},\; \; u=\frac{1}{6}\;

(F)\; に代入すると、点\; \mathrm{H}\; の座標は \displaystyle \left(\frac{1}{3},\; \; \frac{2}{3},\; \; \frac{1}{3} \right)

(3) \mathrm{OH}=\Big|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\Big|

     \displaystyle =\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3} \right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}

 別解

(2) 点\; \mathrm{H}\; は平面\; \alpha \; の上にあるから

\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}\; のとき s+t+u=1\; \; \cdots (G)

となる実数\; s,\; t,\; u\; がある。

(G)\; \; (1)\; を代入して解くと \displaystyle s=\frac{1}{6},\; \; t=\frac{2}{3},\; \; u=\frac{1}{6}\;

(F)\; に代入すると、点\; \mathrm{H}\; の座標は \displaystyle \left(\frac{1}{3},\; \; \frac{2}{3},\; \; \frac{1}{3} \right)

 

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