高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの11(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 11}. 中心が第\; 1\; 象限にあって,x\; 軸,y\; 軸および直線\; 3x+4y-12=0\; に接する円の方程式を求めよ。

解答

中心が第\; 1\; 象限にあって,x\; 軸,y\; 軸に接することから,求める円の半径を\; r\; (r\gt 0)\; とすると、円の方程式は

   (x-r)^2+(y-r)^2=r^2\; \; \cdots (1)

と表される。

   \; 3x+4y-12=0\; \; \cdots (2)

とすると,直線\; (2)\; が円\; (1)\; に接するための条件は,円の中心\; (r,\; \; r)\; と直線\; (2)\; の距離が円の半径\; r\; に等しいことである。

ゆえに \displaystyle \frac{|3r+4r-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=r

よって |7r-12|=5r

両辺を\; 2\; 乗して (7r-12)^2=25r^2

整理して r^2-7r+6=0

r\gt 0\; だから r=1,\; \; 6

これを\; (1)\; に代入すると,求める円の方程式は

   (x-1)^2+(y-1)^2=1,\; \; (x-6)^2+(y-6)^2=36

 

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