高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第4問(2018京都大学入試)

問題

          第 4 問

 コインを\; n \; 回投げて複素数\; z_1,\; z_2,\; \cdots ,z_n \; を次のように定める。

(\mathrm{i}) \; \; 1 \; 回目に表が出れば\displaystyle \; z_1=\frac{-1+\sqrt{3}\, i}{2 }\; とし、裏が出れば\; z_1=1\; とする。

(\mathrm{ii}) \; \; k=2,\; 3,\; \cdots ,n \; のとき、k\; 回目に表が出れば\displaystyle \; z_k=\frac{-1+\sqrt{3}\, i}{2 }z_{k-1}\; とし、裏が出れば\; z_k=\overline{z_{k-1} }\; とする。ただし、\; \overline{z_{k-1} }\; \; z_{k-1} \; の共役複素数である。

このとき、z_n=1 \; となる確率を求めよ。

解答

\displaystyle \omega =\frac{\; -1+ \sqrt{3 }\; i\; }{2} \; とおくと \omega^3=1,\; \overline{\; 1\;  } =1,\; \overline{\; \omega \; } =\omega^2,\;  \overline{\; \omega^2 \; } =\omega \; だから z_k\; は 1,\; \; \omega ,\; \; \omega^2 \; のいずれかである。

n\; 回目に\; z_n=1,\; \; \omega ,\; \; \omega^2 \; となる確率をそれぞれ\; A_n,\; B_n,\; C_n \;とすると

n \geqq 2 \; のとき

\displaystyle A_n=\frac{1}{2 } A_{n-1}+\frac{1}{2 } C_{n-1} \cdots \; (ア)

\displaystyle B_n=\frac{1}{2 } A_{n-1}+\frac{1}{2 } C_{n-1} \cdots \; (イ)

A_n+B_n+C_n=1 \cdots \; (ウ)

(ア)と(イ)より\; A_n=B_n\; だから、これを(ウ)に代入して\; C_n=1-2A_n

よって\; C_{n-1}=1-2A_{n-1} \; を(ア)に代入して

  \displaystyle \; A_n=\frac{1}{2 } A_{n-1}+\frac{1}{2 } \Bigl(1-2A_{n-1} \Bigr)

  \displaystyle \; A_n=-\frac{1}{2 } A_{n-1}+\frac{1}{2 }

\displaystyle A_n-\frac{1}{3 } =-\frac{1}{2 } \Bigl(A_{n-1}-\frac{1}{3 }\Bigr)

    \displaystyle =\Bigl(-\frac{1}{2 } \Bigr)^{n-1} \Bigl(A_1-\frac{1}{3 }\Bigr)

    \displaystyle =\Bigl(-\frac{1}{2 } \Bigr)^{n-1} \Bigl(\frac{1}{2 }-\frac{1}{3 }\Bigr)

    \displaystyle =-\frac{1}{3 } \Bigl(-\frac{1}{2 } \Bigr)^n

よって\displaystyle \; A_n=\frac{1}{3 }-\frac{1}{3 } \Bigl(-\frac{1}{2 } \Bigr)^n

これは\; n=1 \; のときも成り立つ。

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)