高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第4問（2018京都大学入試）

京都大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　 $4$ 　問

　コインを $\; n \;$ 回投げて複素数 $\; z_1,\; z_2,\; \cdots ,z_n \;$ を次のように定める。

$(\mathrm{i}) \; \; 1 \;$ 回目に表が出れば $\displaystyle \; z_1=\frac{-1+\sqrt{3}\, i}{2 }\;$ とし、裏が出れば $\; z_1=1\;$ とする。

$(\mathrm{ii}) \; \; k=2,\; 3,\; \cdots ,n \;$ のとき、 $k\;$ 回目に表が出れば $\displaystyle \; z_k=\frac{-1+\sqrt{3}\, i}{2 }z_{k-1}\;$ とし、裏が出れば $\; z_k=\overline{z_{k-1} }\;$ とする。ただし、 $\; \overline{z_{k-1} }\;$ は $\; z_{k-1} \;$ の共役複素数である。

このとき、 $z_n=1 \;$ となる確率を求めよ。

解答

$\displaystyle \omega =\frac{\; -1+ \sqrt{3 }\; i\; }{2} \;$ とおくと　 $\omega^3=1,\; \overline{\; 1\; } =1,\; \overline{\; \omega \; } =\omega^2,\; \overline{\; \omega^2 \; } =\omega \;$ だから　 $z_k\;$ は　 $1,\; \; \omega ,\; \; \omega^2 \;$ のいずれかである。

$n\;$ 回目に $\; z_n=1,\; \; \omega ,\; \; \omega^2 \;$ となる確率をそれぞれ $\; A_n,\; B_n,\; C_n \;$ とすると

$n \geqq 2 \;$ のとき

$\displaystyle A_n=\frac{1}{2 } A_{n-1}+\frac{1}{2 } C_{n-1} \cdots \;$ (ア)

$\displaystyle B_n=\frac{1}{2 } A_{n-1}+\frac{1}{2 } C_{n-1} \cdots \;$ (イ)

$A_n+B_n+C_n=1 \cdots \;$ (ウ)

(ア)と(イ)より $\; A_n=B_n\;$ だから、これを(ウ)に代入して $\; C_n=1-2A_n$

よって $\; C_{n-1}=1-2A_{n-1} \;$ を(ア)に代入して

　　 $\displaystyle \; A_n=\frac{1}{2 } A_{n-1}+\frac{1}{2 } \Bigl(1-2A_{n-1} \Bigr)$

　　 $\displaystyle \; A_n=-\frac{1}{2 } A_{n-1}+\frac{1}{2 }$

$\displaystyle A_n-\frac{1}{3 } =-\frac{1}{2 } \Bigl(A_{n-1}-\frac{1}{3 }\Bigr)$

　　　　 $\displaystyle =\Bigl(-\frac{1}{2 } \Bigr)^{n-1} \Bigl(A_1-\frac{1}{3 }\Bigr)$

　　　　 $\displaystyle =\Bigl(-\frac{1}{2 } \Bigr)^{n-1} \Bigl(\frac{1}{2 }-\frac{1}{3 }\Bigr)$

　　　　 $\displaystyle =-\frac{1}{3 } \Bigl(-\frac{1}{2 } \Bigr)^n$

よって $\displaystyle \; A_n=\frac{1}{3 }-\frac{1}{3 } \Bigl(-\frac{1}{2 } \Bigr)^n$

これは $\; n=1 \;$ のときも成り立つ。

　

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