高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの14(p.62,数学Ⅰ,数研)

問題

{\Large 14}. a、b\; は実数とする。次の命題の真偽を調べ,真である場合には証明し,偽である場合には反例をあげよ。

(1) a,\; b\; がともに無理数ならば,a+b\; 無理数である。

(2) a,\; b\; がともに無理数ならば,a+b,\; a-b\; の少なくとも一方は無理数である。

(3) a,\; b\; がともに無理数ならば,a+b,\; ab\; の少なくとも一方は無理数である。

(4) a\; 有理数かつ\; b\; 無理数ならば,ab\; 無理数である。

解答

(1) a=\sqrt{2},\; b=-\sqrt{2}(反例)とすると,a+b=0\; 無理数ではない。

 よって,この命題は偽である。

(2) この命題の対偶は次の命題である。

   a+b,\; a-b\; がともに有理数ならば,a,\; b\; の少なくとも一方は有理数である。\cdots (A)

 a+b=p,\; a-b=qp,\; q\; 有理数)とすると

 \displaystyle a=\frac{p+q}{2},\; b=\frac{p-q}{2}\; となり,a,\; b\; はともに有理数である。

 よって,命題\; (A)\; は真であり,もとの命題も真である。    (終)

(3) a=\sqrt{2},\; b=-\sqrt{2}(反例)とすると,a+b=0,\; ab=-2\; はともに無理数ではない。

 よって,この命題は偽である。

(4) a=0,\; b=\sqrt{2}(反例)とすると,ab=0\; 無理数ではない。

 よって,この命題は偽である。

 

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