高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの14（p.62，数学Ⅰ，数研）

数学Ⅰ　数研教科書

問題

${\Large 14}.$ 　 $a、b\;$ は実数とする。次の命題の真偽を調べ，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ。

$(1)　a,\; b\;$ がともに無理数ならば， $a+b\;$ は無理数である。

$(2)　a,\; b\;$ がともに無理数ならば， $a+b,\; a-b\;$ の少なくとも一方は無理数である。

$(3)　a,\; b\;$ がともに無理数ならば， $a+b,\; ab\;$ の少なくとも一方は無理数である。

$(4)　a\;$ が有理数かつ $\; b\;$ が無理数ならば， $ab\;$ は無理数である。

解答

$(1)　a=\sqrt{2},\; b=-\sqrt{2}$ （反例）とすると，

　　　 $a+b=\sqrt{2}+\big(-\sqrt{2}\big)=0\;$ は無理数ではない。

　よって，この命題は偽である。

$(2)$ 　この命題の対偶は次の命題である。

　　　 $a+b,\; a-b\;$ がともに有理数ならば， $a,\; b\;$ の少なくとも一方は有理数である。 $\cdots (A)$

　 $a+b=p,\; a-b=q$ （ $p,\; q\;$ は有理数）とすると

　　　 $\displaystyle a=\frac{p+q}{2},\; b=\frac{p-q}{2}\;$ となり， $a,\; b\;$ はともに有理数である。

　よって，命題 $\; (A)\;$ は真であり，もとの命題も真である。　　　　（終）

$(3)　a=\sqrt{2},\; b=-\sqrt{2}$ （反例）とすると，

　　　 $a+b=\sqrt{2}+\big(-\sqrt{2}\big)=0,$

　　　 $\; ab=\sqrt{2}\times\big(-\sqrt{2}\big)=-2\;$ はともに無理数ではない。

　よって，この命題は偽である。

$(4)　a=0,\; b=\sqrt{2}$ （反例）とすると， $ab=0\times\sqrt{2}=0\;$ は無理数ではない。

　よって，この命題は偽である。

現在、高校で、使用されている数研教科書改訂版の同じ問題はこちら

ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）