高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの15（p.62，数学Ⅰ，数研）

数学Ⅰ　数研教科書

問題

${\Large 15}.$ 　次の問いに答えよ。

$(1)　\sqrt{2}\;$ が無理数であることを用いて，次のことを証明せよ。

　　　　　　　 $p,\; q\;$ が有理数で $\; p+q\sqrt{2}=0\; \Longrightarrow\; p=q=0$

$(2)　p+q\sqrt{2}=-1+3\sqrt{2}\;$ を満たす有理数 $\; p,\; q\;$ の値を求めよ。

解答

$(1)　p=q=0\;$ ではない，すなわち $\; p,\; q\;$ の少なくとも一方は $\; 0\;$ ではないと仮定する。

　 $q=0\;$ のとき　 $\; p+q\sqrt{2}=0\;$ より　 $p=0\;$

　このことは， $\; p,\; q\;$ の少なくとも一方は $\; 0\;$ ではないことに矛盾する。

　次に， $q\neq 0\;$ のとき　 $\; p+q\sqrt{2}=0\;$ より　 $\displaystyle \sqrt{2}=-\frac{p}{q}$

　 $\sqrt{2}\;$ が無理数だから， $\displaystyle -\frac{p}{q}\;$ も無理数となるが，

　このことは， $p,\; q\;$ が有理数であることに矛盾する。

　したがって， $p=q=0$ 　　　　　　　　　　（終）

$(2)　p+q\sqrt{2}=-1+3\sqrt{2}$

　 $(p+1)+(q-3)\sqrt{2}=0$

　 $(1)\;$ より　 $p+1=0,\; q-3=0$

　よって　 $p=-1,\; q=3$

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