高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの15(p.62,数学Ⅰ,数研)

問題

{\Large 15}. 次の問いに答えよ。

(1) \sqrt{2}\; 無理数であることを用いて,次のことを証明せよ。

       p,\; q\; 有理数\; p+q\sqrt{2}=0\; \Longrightarrow\; p=q=0

(2) p+q\sqrt{2}=-1+3\sqrt{2}\; を満たす有理数\; p,\; q\; の値を求めよ。

解答

(1) p=q=0\; ではない,すなわち\; p,\; q\; の少なくとも一方は\; 0\; ではないと仮定する。

 q=0\; のとき \; p+q\sqrt{2}=0\; より p=0\;

 このことは,\; p,\; q\; の少なくとも一方は\; 0\; ではないことに矛盾する。

 次に,q\neq 0\; のとき \; p+q\sqrt{2}=0\; より \displaystyle \sqrt{2}=-\frac{p}{q}

 \sqrt{2}\; 無理数だから,\displaystyle -\frac{p}{q}\; 無理数となるが,

 このことは,p,\; q\; 有理数であることに矛盾する。

 したがって,p=q=0          (終)

(2) p+q\sqrt{2}=-1+3\sqrt{2}

 (p+1)+(q-3)\sqrt{2}=0

 (1)\; より  p+1=0,\; q-3=0

 よって p=-1,\; q=3

 

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