演習問題Bの12（p.64，数学A，数研）

問題

${\Large 12}.$ 　白玉 $\; 7\;$ 個，赤玉 $\; 3\;$ 個が入っている袋から，玉を $\; 1\;$ 個取り出し，それを袋に戻さないで，続いてもう $\; 1\;$ 個取り出す。 $2\;$ 番目に取り出した玉が赤玉であるとき，最初に取り出した玉も赤玉である確率を求めよ。

解答

$1\;$ 番目に取り出した玉が赤玉である事象を $\; \mathrm{A}\;$ ， $2\;$ 番目に取り出した玉が赤玉である事象を $\; \mathrm{B}\;$ とする。

$\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\frac{3}{10} \times \frac{2}{9}=\frac{1}{15}$

$\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{7}{10} \times \frac{3}{9}+\frac{3}{10} \times \frac{2}{9}=\frac{3}{10}$

よって求める確率は　 $\mathrm{P}_B (\mathrm{A})\;$ だから

$\displaystyle \mathrm{P}_B (\mathrm{A})=\frac{\; \; \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})\; \; }{\mathrm{P}(\mathrm{B})}=\cfrac{\; \; \cfrac{1}{15}\; \; }{\cfrac{3}{10}}=\frac{2}{9}$