数学(理系)の第3問（2017京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $3$ 　問

　 $p,\; q\;$ を自然数， $\alpha ,\; \beta \;$ を

　　　 $\displaystyle \tan \, \alpha =\frac{1 }{p },\; \; \; \tan \, \beta =\frac{1 }{q }$

を満たす実数とする。このとき

　　　 $\tan \, (\alpha +2 \beta )=2$

を満たす $\; p,\; q\;$ の組 $\; (p,\; q)\;$ をすべて求めよ。

解答

$q=1\;$ のとき　 $\; \tan\, \beta =1\;$ より　 $\; \displaystyle \beta =\frac{\pi }{4} +n\pi \;$ （ $\; n\;$ は整数）

$\tan\, (\alpha +2\beta )=2\;$ に代入して　 $\displaystyle \tan\,(\alpha +\frac{\pi }{2} +2n\pi )=2\;$ より　 $\; \displaystyle -\frac{1}{\tan\, \alpha }=2\;$

だから　 $\displaystyle \; \tan\, \alpha =-\frac{1}{2}\;$ となり， $\; p\;$ は自然数にならない。

$q\geqq 2\;$ のとき

$\; \displaystyle \tan\, (\alpha +2\beta )=\frac{\tan\, \alpha +\tan\, 2\beta }{1-\tan\, \alpha \tan\, 2\beta }$

　　　　　　　 $\displaystyle =\cfrac{\tan\, \alpha +\cfrac{2\tan\, \beta }{1-\tan^2 \beta } }{1-\cfrac{2\tan\, \alpha \tan\, \beta }{1-\tan^2 \beta } }=\cfrac{ \cfrac{1}{p} +\cfrac{ \cfrac{2}{q} }{1-q^2} }{1-\cfrac{ \cfrac{2}{pq} }{1-\cfrac{1}{q^2} } } =\frac{q^2+2pq-1}{pq^2-p-2q}=2$