高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第3問(2017京都大学入試)

問題

          第 3 問

 p,\; q\; 自然数\alpha ,\; \beta \;

   \displaystyle \tan \, \alpha =\frac{1 }{p },\; \; \; \tan \, \beta =\frac{1 }{q }

を満たす実数とする。このとき

   \tan \, (\alpha +2 \beta )=2

を満たす\; p,\; q\; の組\; (p,\; q)\; をすべて求めよ。

解答

q=1\; のとき \; \tan\, \beta =1\; より \; \displaystyle \beta =\frac{\pi }{4} +n\pi \; \; n\;は整数)

\tan\, (\alpha +2\beta )=2\; に代入して \displaystyle \tan\,(\alpha +\frac{\pi }{2} +2n\pi )=2\; より \; \displaystyle -\frac{1}{\tan\, \alpha }=2\;

だから \displaystyle \; \tan\, \alpha =-\frac{1}{2}\; となり,\; p\; 自然数にならない。

q\geqq 2\; のとき

\; \displaystyle \tan\, (\alpha +2\beta )=\frac{\tan\, \alpha +\tan\, 2\beta }{1-\tan\, \alpha \tan\, 2\beta }

       \displaystyle =\cfrac{\tan\, \alpha +\cfrac{2\tan\, \beta }{1-\tan^2 \beta } }{1-\cfrac{2\tan\, \alpha \tan\, \beta }{1-\tan^2 \beta } }=\cfrac{ \cfrac{1}{p} +\cfrac{ \cfrac{2}{q} }{1-q^2} }{1-\cfrac{ \cfrac{2}{pq} }{1-\cfrac{1}{q^2} } } =\frac{q^2+2pq-1}{pq^2-p-2q}=2

だから,整理して p(2q^2-2q-2)=q^2+4q-1

2q^2-2q-2=2\{ (q-2)(q+1)+1\} \gt 0\; \; p\geqq 1\; より \displaystyle p=\frac{q^2+4q-1}{2q^2-2q-2} \geqq 1\; だから

q^2-6q-1\leqq 0 よって \; 2\leqq q\leqq 3+\sqrt{13}

q\; は整数だから 2\leqq q\leqq 6

q=2\; のとき\; \displaystyle p=\frac{11}{2},\; \; q=3\; のとき\; p=2,\; \;  q=4\; のとき\; \displaystyle p=\frac{31}{22},

q=5\; のとき\; \displaystyle p=\frac{22}{19},\;\; q=6\; のとき\; \displaystyle p=\frac{59}{58}

以上より (p,\; \; q)=(2,\; \; 3)

 

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