数学(理系)の第5問（2017京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $5$ 　問

　 $a\geqq 0\;$ とする。 $0\leqq x\leqq \sqrt{2}\;$ の範囲で曲線 $\; y=xe^{-x}$ ，直線 $\; y=ax$ ，直線 $\; x=\sqrt{2}\;$ によって囲まれた部分の面積を $\; S(a)\;$ とする。このとき， $S(a)\;$ の最小値を求めよ。

（ここで「囲まれた部分」とは，上の曲線または直線のうち $\; 2\;$ つ以上で囲まれた部分を意味するものとする。）

解答

$xe^{-x} =ax\;$ より　 $x(e^{-x}-a)=0\;$ だから　 $x=0,\; \; -\log a$

$0\leqq x\leqq \sqrt{2} \;$ より　 $0\leqq -\log a\leqq \sqrt{2} \;$ だから　 $e^{-\sqrt{2} } \leqq a\leqq 1$

　　 $\displaystyle \int xe^{-x} dx=-xe^{-x} +\int e^{-x} dx=-e^x(x+1)$

$a\lt e^{-\sqrt{2} } \;$ のとき

　　 $\displaystyle S(a)=\int_{0}^{\sqrt{2} } (xe^{-x} -ax)dx=\Bigl[ -e^{-x}(x+1) -\frac{1}{2} ax^2\Bigr]_0^{\sqrt{2} }$

　　　　 $\; =-a-e^{-\sqrt{2} } (\sqrt{2} +1)+1$

$e^{-\sqrt{2} } \leqq a\leqq 1\;$ のとき

　　 $\displaystyle S(a)=\int_{0}^{-\log a } (xe^{-x} -ax)dx+\int_{-\log a }^{\sqrt{2} } (ax-xe^{-x} )dx$

　　　　 $\displaystyle \; =\Bigl[ -e^{-x}(x+1) -\frac{1}{2} ax^2\Bigr]_0^{-\log a } +\Bigl[ \frac{1}{2} ax^2+e^{-x}(x+1) \Bigr]_{-\log a }^{\sqrt{2}}$

　　　　 $\; =-a(\log a)^2+2a\log a-a+e^{-\sqrt{2} } (\sqrt{2} +1)+1$

$S'(a)=1-(\log a)^2=(1-\log a)(1+\log a)\;$ より

$S'(a)=0\;$ のとき　 $e^{-\sqrt{2} } \leqq a\leqq 1=e^0\;$ より　 $a=e^{-1}$

$1\lt a\:$ のとき

　　 $\displaystyle S(a)=\int_{0}^{\sqrt{2} } (ax-xe^{-x} )dx =a+e^{-\sqrt{2} } (\sqrt{2} +1)-1$

$\; \; \; a$	$0$	$\cdots$	$e^{-\sqrt{2}}$	$\cdots$	$e^{-1}$	$\cdots$	$\; 1$	$\cdots$
$S'(a)$		$\; -$	$\; \; -$	$\; -$	$\; \; 0$	$\; +$	$\; +$	$\; +$
$S(a)$		$\searrow$	$\; \searrow$	$\searrow$		$\nearrow$	$\nearrow$	$\nearrow$