高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第5問(2017京都大学入試)

問題

          第 5 問

 a\geqq 0\; とする。0\leqq x\leqq \sqrt{2}\; の範囲で曲線\; y=xe^{-x},直線\; y=ax,直線\; x=\sqrt{2}\; によって囲まれた部分の面積を\; S(a)\; とする。このとき,S(a)\; の最小値を求めよ。

(ここで「囲まれた部分」とは,上の曲線または直線のうち\; 2\; つ以上で囲まれた部分を意味するものとする。)

解答

xe^{-x} =ax\; より x(e^{-x}-a)=0\; だから x=0,\; \; -\log a

0\leqq x\leqq \sqrt{2} \; より 0\leqq -\log a\leqq \sqrt{2} \; だから e^{-\sqrt{2} } \leqq a\leqq 1

  \displaystyle \int xe^{-x} dx=-xe^{-x} +\int e^{-x} dx=-e^x(x+1)

a\lt e^{-\sqrt{2} } \; のとき

  \displaystyle S(a)=\int_{0}^{\sqrt{2} } (xe^{-x} -ax)dx=\Bigl[ -e^{-x}(x+1) -\frac{1}{2} ax^2\Bigr]_0^{\sqrt{2} }

    \; =-a-e^{-\sqrt{2} } (\sqrt{2} +1)+1

e^{-\sqrt{2} } \leqq a\leqq 1\; のとき

  \displaystyle S(a)=\int_{0}^{-\log a } (xe^{-x} -ax)dx+\int_{-\log a }^{\sqrt{2} } (ax-xe^{-x} )dx

    \displaystyle \; =\Bigl[ -e^{-x}(x+1) -\frac{1}{2} ax^2\Bigr]_0^{-\log a } +\Bigl[ \frac{1}{2} ax^2+e^{-x}(x+1) \Bigr]_{-\log a }^{\sqrt{2}}

    \; =-a(\log a)^2+2a\log a-a+e^{-\sqrt{2} } (\sqrt{2} +1)+1

S'(a)=1-(\log a)^2=(1-\log a)(1+\log a)\; より

S'(a)=0\; のとき e^{-\sqrt{2} } \leqq a\leqq 1=e^0\; より a=e^{-1}

1\lt a\: のとき

  \displaystyle S(a)=\int_{0}^{\sqrt{2} } (ax-xe^{-x} )dx =a+e^{-\sqrt{2} } (\sqrt{2} +1)-1

\; \; \; a 0 \cdots e^{-\sqrt{2}} \cdots e^{-1} \cdots \; 1 \cdots
S'(a)   \; - \; \; - \; - \; \; 0 \; + \; + \; +
S(a)   \searrow \; \searrow \searrow   \nearrow \nearrow \nearrow

増減表より S(a)\; は 0\leqq a\leqq e^{-1}\; で単調に減少し,e^{-1} \leqq a\; で単調に増加し,a=e^{-1}\; で最小となる。最小値は

  S(e^{-1} )=-e^{-1} (\log e^{-1} )^2+2e^{-1} \log e^{-1} -e^{-1} +e^{-\sqrt{2} } (\sqrt{2} +1)+1

     \; \; =-4e^{-1} +e^{-\sqrt{2} } (\sqrt{2} +1)+1

 

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