高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの9(p.36,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 9}. \bigm|a\bigm|\lt1,\; \; \bigm|b\bigm|\lt 1\; のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。

(1) 1+ab\gt0     (2) \bigm|a+b\bigm|\lt 1+ab

解答

(1) \bigm|a\bigm|\lt1,\; \; \bigm|b\bigm|\lt 1\; より,\bigm|ab\bigm|\lt1\; だから -1\lt ab\lt 1

よって   0\lt 1+ab\lt 2

ゆえに   1+ab\gt 0         (終)

(2) 両辺の平方の差を考えると

(1+ab)^2-\bigm|a+b\bigm|^2=(1+ab)^2-(a+b)^2

          =1-a^2-b^2+a^2b^2

          =(1-a^2)(1-b^2)

ここで \bigm|a\bigm|\lt1,\; \; \bigm|b\bigm|\lt 1\; より 1-a^2\gt 0,\;\; 1-b^2\gt 0

よって   \bigm|a+b\bigm|^2\lt (1+ab)^2

\bigm|a+b\bigm|\geqq 0\; で,(1)\; より\; 1+ab\gt 0\; だから

      \bigm|a+b\bigm|\lt 1+ab         (終)

 

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