高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの9（p.36，数学Ⅱ，数研）

数学Ⅱ　数研教科書

問題

${\Large 9}.$ 　 $\bigm|a\bigm|\lt1,\; \; \bigm|b\bigm|\lt 1\;$ のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ。

$(1)$ 　 $1+ab\gt0$ 　　　　　 $(2)$ 　 $\bigm|a+b\bigm|\lt 1+ab$

解答

$(1)$ 　 $\bigm|a\bigm|\lt1,\; \; \bigm|b\bigm|\lt 1\;$ より， $\bigm|ab\bigm|\lt1\;$ だから　 $-1\lt ab\lt 1$

よって　　　 $0\lt 1+ab\lt 2$

ゆえに　　　 $1+ab\gt 0$ 　　　　　　　　　（終）

$(2)$ 　両辺の平方の差を考えると

$(1+ab)^2-\bigm|a+b\bigm|^2=(1+ab)^2-(a+b)^2$

　　　　　　　　　　 $=1-a^2-b^2+a^2b^2$

　　　　　　　　　　 $=(1-a^2)(1-b^2)$

ここで　 $\bigm|a\bigm|\lt1,\; \; \bigm|b\bigm|\lt 1\;$ より　 $1-a^2\gt 0,\;\; 1-b^2\gt 0$

よって　　　 $\bigm|a+b\bigm|^2\lt (1+ab)^2$

$\bigm|a+b\bigm|\geqq 0\;$ で， $(1)\;$ より $\; 1+ab\gt 0\;$ だから

　　　　　　 $\bigm|a+b\bigm|\lt 1+ab$ 　　　　　　　　　（終）

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