数学(理系)の第1問（2017大阪大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　双曲線 $\; H:x^2-y^2=1\;$ 上の $\; 3\;$ 点 $\; \mathrm{A}(-1,\; 0),\; \mathrm{B}(1,\; 0),\; \mathrm{C}(s,\; t)\; \; (t\neq0) \;$ を考える。

$(1)$ 　点 $\; \mathrm{A}\;$ における $\; H\;$ の接線と直線 $\; \mathrm{BC}\;$ の交点を $\; \mathrm{P}\;$ とするとき， $\mathrm{P}\;$ の座標を $\;s\;$ と $\; t\;$ を用いてあらわせ。

$(2)$ 　点 $\; \mathrm{C}\;$ における $\; H\;$ の接線と直線 $\; \mathrm{AB}\;$ の交点を $\; \mathrm{Q}\;$ とするとき， $\mathrm{Q}\;$ の座標を $\;s\;$ と $\; t\;$ を用いてあらわせ。

$(3)$ 　点 $\; \mathrm{B}\;$ における $\; H\;$ の接線と直線 $\; \mathrm{AC}\;$ の交点を $\; \mathrm{R}\;$ とするとき， $3\;$ 点 $\; \mathrm{P,Q,R}\;$ は一直線上にあることを証明せよ。

解答

双曲線 $\; H\;$ 上の点 $\; \mathrm{D}(x_1,\; y_1)\;$ における接線の方程式を求める。

点 $\; \mathrm{D}\;$ が $\; x\;$ 軸上にないとき， $H\;$ の両辺を $\; x\;$ について微分すると

　　　　　 $\; 2x-2yy'=0$

よって， $y \neq 0\;$ のとき　 $\displaystyle y'=\frac{x }{y }$

ゆえに，点 $\mathrm{D}\;$ における接線の傾きは　 $\displaystyle y'=\frac{x_1 }{y_1 }$

求める接線の方程式は

　　　　　 $\displaystyle y-y_1=\frac{x_1 }{y_1 } (x-x_1)$

整理すると　 $x_1x-y_1y={x_1}^2-{y_1}^2$

$\mathrm{D}(x_1,\; y_1)\;$ は双曲線 $\; H\;$ 上にあるから　 ${x_1}^2-{y_1}^2=1$

したがって，接線の方程式は

　　　　　 $x_1x-y_1y=1　\cdots (\mathrm{E})$

さらに，点 $\; \mathrm{D}\;$ が $\; x\;$ 軸上にあるときも，接線はこの方程式で与えられる。

また，点 $\; \mathrm{C}\;$ は双曲線 $\; H\;$ 上の点だから　 $s^2-t^2=1$ 　より　 $s^2=1+t^2$

ここで　 $t\neq 0\;$ から　 $s^2\gt 1$

よって　 $s\lt -1,\; \; 1\lt s　\cdots (K)$

$(1)$ 　点 $\; \mathrm{A}\;$ における $\; H\;$ の接線の方程式は， $\; (\mathrm{E})\;$ に $\; \mathrm{A}(-1,\; 0)\;$ を代入して　 $x=-1$

直線 $\; \mathrm{BC}\;$ の式は， $(K)\;$ だから　 $\displaystyle y=\frac{t }{s-1 }(x-1)\;$

よって，交点 $\; \mathrm{P}\;$ は　 $\displaystyle \mathrm{P} \left( -1,\; -\frac{2t }{s-1 } \right)$

$(2)$ 　点 $\; \mathrm{C}\;$ における $\; H\;$ の接線の方程式は， $\; (\mathrm{E})\;$ に $\; \mathrm{C}(s,\; t)\;$ を代入して　 $sx-ty=1$

直線 $\; \mathrm{AB}\;$ の式は　 $y=0$

よって，交点 $\; \mathrm{Q}\;$ は， $(K)\;$ だから　 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1 }{s } ,\; 0 \right)$

$(3)$ 　点 $\; \mathrm{B}\;$ における $\; H\;$ の接線の方程式は， $\; (\mathrm{E})\;$ に $\; \mathrm{B}(1,\; 0)\;$ を代入して　 $x=1$

直線 $\; \mathrm{AC}\;$ の式は， $(K)\;$ だから　 $\displaystyle y=\frac{t }{s+1 }(x+1)\;$

よって，交点 $\; \mathrm{R}\;$ は　 $\displaystyle \mathrm{P} \left( 1,\; \frac{2t }{s+1 } \right)$

これらより，直線 $\; \mathrm{PQ}\;$ の傾きは　 $\displaystyle \cfrac{0+\cfrac{2t }{s-1 } }{\cfrac{1 }{s }+1 }=\frac{2st }{s^2-1 }\;$

直線 $\; \mathrm{QR}\;$ の傾きは　 $\displaystyle \cfrac{\cfrac{2t }{s+1 }-0 }{1-\cfrac{1 }{s } }=\frac{2st }{s^2-1 }\;$

したがって，直線 $\; \mathrm{PQ}\;$ と直線 $\; \mathrm{QR}\;$ の傾きが等しいから， $3\;$ 点 $\; \mathrm{P,Q,R}\;$ は一直線上にある。　　　　（証明終）

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