数学(理系)の第3問（2019東京大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $3$ 　問

　座標空間内に $\; 5 \;$ 点 $\; \mathrm{A}(2,\; \; 0,\; \; 0),\; \mathrm{B}(0,\; \; 2,\; \; 0),\; \mathrm{C}(-2,\; \; 0,\; \; 0),\; \mathrm{D}(0,\; \; -2,\; \; 0),\; \mathrm{E}(0,\; \; 0,\; \; -2) \;$ を考える。線分 $\; \mathrm{AB} \;$ の中点 $\; \mathrm{M} \;$ と線分 $\; \mathrm{AD} \;$ の中点 $\; \mathrm{N} \;$ を通り、直線 $\; \mathrm{AE} \;$ に平行な平面を $\; \alpha \;$ とする。さらに、 $p \;$ は $\; 2\lt p\lt 4 \;$ をみたす実数とし、点 $\; \mathrm{P}(p,\; \; 0,\; \; 2) \;$ を考える。

$(1) \;$ 八面体 $\; \mathrm{PABCDE} \;$ の平面 $\; y=0 \;$ による切り口および、平面 $\; \alpha \;$ の平面 $\; y=0 \;$ による切り口を同一平面上に図示せよ。

$(2) \;$ 八面体 $\; \mathrm{PABCDE} \;$ の平面 $\; \alpha \;$ による切り口が八角形となる $\; p \;$ の範囲を求めよ。

$(3) \;$ 実数 $\; p \;$ が $\; (2) \;$ で定まる範囲にあるとする。八面体 $\; \mathrm{PABCDE} \;$ の平面 $\; \alpha \;$ による切り口のうち、 $\; y\geqq 0,\; \; z\geqq 0 \;$ の部分を点 $\; (x,\; \; y,\; \; z) \;$ が動くとき、座標平面上で点 $\; (y,\; \; z) \;$ が動く範囲の面積を求めよ。

解答

$(1) \; \mathrm{M}(1,\; \; 1,\; \; 0),\; \mathrm{N}(1,\; \; -1,\; \; 0) \;$ となる。

$(\mathrm{i}) \; 2\lt p\lt 3 \;$ のとき。平面 $\; y=0 \;$ 上の点 $\; (x,\; \; z) \;$ は、 $\; \mathrm{A}(2,\; \; 0),\; \mathrm{C}(-2,\; \; 0),\; \mathrm{E}(0,\; \; -2),\; \mathrm{P}(p,\; \; 2) \;$ である。よって、八面体の平面 $\; \alpha \;$ による切り口は、四角形 $\; \mathrm{PCEA} \;$ となる。（図は省略）

また、線分 $\; \mathrm{MN} \;$ の中点は $\; (1,\; \; 0,\; \; 0) \;$ である。平面 $\; \alpha \;$ と平面 $\; y=0 \;$ の交わる線は直線で、この中点 $\; (1,\; \; 0) \;$ を通り、直線 $\; \mathrm{AE} \;$ に平行な直線 $\; z=x-1\; \cdots \;$ （直線 $\; l \;$ とする。）がその切り口である。直線 $\; l \;$ は四角形 $\; \mathrm{PCEA} \;$ の辺 $\; \mathrm{CE},\; \mathrm{PA} \;$ と交わる。

$(\mathrm{ii}) \; p=3 \;$ のとき。 $(\mathrm{i}) \;$ と同様。（図は省略）直線 $\; l \;$ は四角形 $\; \mathrm{PCEA} \;$ の頂点 $\; \mathrm{P} \;$ を通り、辺 $\; \mathrm{CE} \;$ と交わる。

$(\mathrm{iii}) \; 3\lt p\lt 4 \;$ のとき。 $(\mathrm{i}) \;$ と同様。（図は省略）直線 $\; l \;$ は四角形 $\; \mathrm{PCEA} \;$ の頂点 $\; \mathrm{P} \;$ を通り、辺 $\; \mathrm{CE},\; \mathrm{PC} \;$ と交わる。

$(2) \;$ 点 $\; \mathrm{O},\; \mathrm{B},\; \mathrm{D} \;$ は一直線上にあり、この直線は平面 $\; y=0 \;$ に垂直である。また、平面 $\; y=0 \;$ に垂直な直線 $\; \mathrm{MN} \;$ を含む平面 $\; \alpha \;$ も、平面 $\; y=0 \;$ に垂直である。

$(1) \;$ の $\; (\mathrm{i}) \;$ のとき、点 $\; \mathrm{P},\; \mathrm{B}\; \mathrm{C},\; \mathrm{D} \;$ と点 $\; \mathrm{A},\; \mathrm{E} \;$ は、平面 $\; \alpha \;$ について反対側にある。よって、平面 $\; \alpha \;$ は八面体の辺 $\; \mathrm{PA},\; \mathrm{AB},\; \mathrm{AD},\; \mathrm{EB},\; \mathrm{EC},\; \mathrm{ED} \;$ と交わるから、その切り口は六角形である。

$(1) \;$ の $\; (\mathrm{ii}) \;$ のとき、点 $\; \mathrm{P} \;$ は平面 $\; \alpha \;$ 上にあり、点 $\; \mathrm{B},\; \mathrm{C},\; \mathrm{D} \;$ と点 $\; \mathrm{A},\; \mathrm{E} \;$ は、平面 $\; \alpha \;$ について反対側にある。よって、平面 $\; \alpha \;$ は八面体の頂点 $\; \mathrm{P} \;$ を通り、辺 $\; \mathrm{AB},\; \mathrm{AD},\; \mathrm{EB},\; \mathrm{EC},\; \mathrm{ED} \;$ と交わるから、その切り口は六角形である。

$(1) \;$ の $\; (\mathrm{iii}) \;$ のとき、点 $\; \mathrm{B},\; \mathrm{C},\; \mathrm{D} \;$ と点 $\; \mathrm{P},\; \mathrm{A},\; \mathrm{E} \;$ は、平面 $\; \alpha \;$ について反対側にある。よって、平面 $\; \alpha \;$ は八面体の辺 $\; \mathrm{PB},\; \mathrm{PC},\; \mathrm{PD},\; \mathrm{AB},\; \mathrm{AD},\; \mathrm{EB},\; \mathrm{EC},\; \mathrm{ED} \;$ と交わるから、その切り口は八角形である。

ゆえに、求める $\; p \;$ の範囲は、 $3\lt p\lt 4 \;$ である。

$(3) \; (2) \;$ の八角形の頂点のうち、 $\; y\geqq 0,\; \; z\geqq 0 \;$ にあるのは、平面 $\; \alpha \;$ が八面体の辺 $\; \mathrm{PC},\; \mathrm{PB},\; \mathrm{AB} \;$ と交わる点で、これらを順に点 $\; \mathrm{S},\; \mathrm{T},\; \mathrm{U} \;$ とする。

点 $\; \mathrm{S} \;$ の座標を求める。 $(1) \;$ より $\; 2 \;$ 点 $\; \mathrm{P},\; \mathrm{C} \;$ は平面 $\; y=0 \;$ 上にあり、 $\; \mathrm{P}(p,\; \; 2),\; \mathrm{C}(-2,\; \; 0) \;$ だから、直線 $\; \mathrm{PC} \;$ の式は、 $\displaystyle z=\frac{2}{p+2}x+\frac{4}{p+2} \;$ である。

直線 $\; l \;$ つまり直線 $\; z=x-1 \;$ との交点の $\; z \;$ 座標は、 $\displaystyle z=\frac{6}{p} \;$ である。よって、その座標 $\; (y,\; \; z) \;$ は、 $\displaystyle \mathrm{S}(0,\; \; \frac{6}{p}) \;$ である。

次に、点 $\; \mathrm{T} \;$ の座標を求める。点 $\; \mathrm{B} \;$ の座標 $\; (x,\; \; z) \;$ は、 $\; (0,\; \; 0) \;$ で点 $\; \mathrm{O} \;$ と一致する。

$(1) \;$ の $\; (\mathrm{iii}) \;$ で、直線 $\; \mathrm{PO} \;$ の式は $\displaystyle z=\frac{2}{p}x \;$ で、直線 $\; l \;$ つまり直線 $\; z=x-1 \;$ との交点の $\; z \;$ 座標は、 $\displaystyle z=\frac{2}{p-2} \;$ である。

また、 $\; 2 \;$ 点 $\; \mathrm{P},\; \mathrm{B} \;$ の座標 $\; (y,\; \; z) \;$ は、 $\; \mathrm{P}(0,\; \; 2),\; \mathrm{B}(2,\; \; 0) \;$ だから、直線 $\; \mathrm{PB} \;$ の式は $\; z=-y+2 \;$ である。