数学(理系)の第2問（2019東京大学入試）

　　　　　　　　　　第　 $2$ 　問

　一辺の長さが $\; 1 \;$ の正方形 $\; \mathrm{ABCD} \;$ を考える。 $3 \;$ 点 $\; \mathrm{P},\; \mathrm{Q},\; \mathrm{R} \;$ はそれぞれ辺 $\; \mathrm{AB},\; \mathrm{AD},\; \mathrm{CD} \;$ 上にあり、 $3 \;$ 点 $\; \mathrm{A},\; \mathrm{P},\; \mathrm{Q} \;$ および $\; 3 \;$ 点 $\; \mathrm{P},\; \mathrm{Q},\; \mathrm{R} \;$ はどちらも面積が $\displaystyle \; \frac{1}{3} \;$ の三角形の $\; 3 \;$ 頂点であるとする。

　 $\displaystyle \frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AQ}} \;$ の最大値、最小値を求めよ。

解答

$\displaystyle \mathrm{AQ}=x,\; \frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AQ}}=y \;$ とおくと、 $0 \lt x \leqq 1 \;$ となる。

$\displaystyle \bigtriangleup \mathrm{APQ}=\frac{1}{3} \;$ だから、 $\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{2}{3x} \;$ より、 $\displaystyle 0 \lt \frac{2}{3x} \leqq 1 \;$

これらから、 $\displaystyle \frac{2}{3} \leqq x \leqq 1 \;$ となる。

$\displaystyle \mathrm{DQ}=1-x,\; \mathrm{DR}=xy,\; \mathrm{BP}=1-\frac{2}{3x}, \; \mathrm{CR}=1-xy \;$ だから

$\bigtriangleup \mathrm{DQR}+\;$ 台形 $\displaystyle \; \mathrm{PBCR}=1-\frac{1}{3} \times 2$

$\displaystyle \frac{1}{2} xy(1-x)+\frac{1}{2} (1-\frac{2}{3x}+1-xy)=\frac{1}{3}$

$\displaystyle 3x^2y=4-\frac{2}{x}$

よって、 $\displaystyle y=\frac{4}{3x^2}-\frac{2}{3x^3}$

$\displaystyle y'=-\frac{8}{3x^3}+\frac{2}{x^4}=-\frac{2}{3x^4}(4x-3) \;$ だから　 $y'=0 \;$ となるのは、 $\displaystyle x=\frac{3}{4}$

$x$	$\displaystyle \frac{2}{3}$	$\cdots$	$\displaystyle \; \frac{3}{4}$	$\cdots$	$1$
$y'$	$\;$	$\; +$	$\; \, 0$	$\; -$	$\;$
$y$	$\displaystyle \frac{3}{4}$	$\nearrow$	$\displaystyle \frac{64}{81}$	$\searrow$	$\displaystyle \frac{2}{3}$

（グラフは省略）

以上より、 $\displaystyle x=\frac{3}{4} \;$ のとき、 $\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{8}{9},\; \mathrm{AQ}=\frac{3}{4},\; \mathrm{DR}=\frac{16}{27} \;$ つまり、 $3 \;$ 点 $\; \mathrm{P},\; \mathrm{Q},\; \mathrm{R} \;$ はそれぞれ辺 $\; \mathrm{AB},\; \mathrm{AD},\; \mathrm{CD} \;$ を $\; 8:1,\; 3:1,\; 11:16 \;$ に内分するとき、 $\displaystyle \frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AQ}} \;$ は最大値 $\displaystyle \; \frac{64}{81} \;$ となる。

また、 $x=1 \;$ のとき、 $\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{2}{3},\; \mathrm{AQ}=1,\; \mathrm{DR}=\frac{2}{3} \;$ つまり、点 $\; \mathrm{Q} \;$ は点 $\; \mathrm{D} \;$ 上にあり、 $2 \;$ 点 $\; \mathrm{P},\; \mathrm{R} \;$ はそれぞれ辺 $\; \mathrm{AB},\; \mathrm{CD} \;$ を $\; 2:1,\; 1:2 \;$ に内分するとき、 $\displaystyle \frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AQ}} \;$ は最小値 $\displaystyle \; \frac{2}{3} \;$ となる。