高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第4問(2019京都大学入試)

          第 4 問

 1 \; つのさいころ\; n \; 回続けて投げ、出た目を順に\; X_1, \; X_2, \; \cdots, \; X_n \; とする。このとき次の条件をみたす確率を\; n \; を用いて表せ。ただし\; X_0=0 \; としておく。

 条件:1 \leqq k \leqq n \; をみたす\; k \; のうち、X_{k-1} \leqq 4 \; かつ\; X_k \geqq 5 \; が成立するような\; k \; の値はただ\; 1 \; つである。

解答

さいころ\; 1 \; 回投げると、4 \; 以下の目か\; 5 \; 以上の目のいずれかが出る。さいころ\; n \; 回投げると、これらが数回ずつ交互に繰り返されることになる。よって、条件をみたすのは

1 \leqq k \leqq n \; , \; \; 1 \leqq m \leqq n-(k-1) \; のとき、4 \; 以下の目が\; (k-1) \; 回(\; X_0=0 \; だから、0 \; 回でもよい。)続けて出た後、5 \; 以上の目が\; m \; 回(\; 1 \; 回以上)出て、その後また\; 4 \; 以下の目が\; (n-(k-1)-m) \; 回(\; 0 \; 回でもよい。)出る。次に\; 5 \; 以上の目は出ない。出ると\; k \; \; 2 \; つになり、条件をみたさない。

1 \; つのさいころ\; 1 \; 回投げたとき、4 \; 以下の目が出る確率は\displaystyle \; \frac{2}{3} \; 5 \; 以上の目が出る確率は\displaystyle \; \frac{1}{3} \; である。したがって、その確率は

\displaystyle \left( \; \frac{2}{3} \; \right)^{k-1} \left( \; \frac{1}{3} \; \right)^m \left( \; \frac{2}{3} \; \right)^{n-(k-1)-m}=\left( \; \frac{1}{3} \; \right)^m \left( \; \frac{2}{3} \; \right)^{n-m}=\left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n \left( \; \frac{1}{2} \; \right)^m

ここで、m \; \; 1 \leqq m \leqq n-(k-1) \; のそれぞれについて条件をみたすから

\displaystyle \sum_{m=1}^{n-(k-1)} \left( \; \frac{2}{3} \; \right)^n \left( \; \frac{1}{2} \; \right)^m=\left( \; \frac{2}{3} \;  \right)^n \cfrac {\; \; \; \cfrac{1}{2} \left\{ 1- \left( \cfrac{1}{2} \right)^{n-(k-1)} \right\} }{1- \cfrac{1}{2}}

\displaystyle =\left( \; \frac{2}{3} \;  \right)^n \left\{ 1- \left( \frac{1}{2} \right)^{n-(k-1)} \right\} =\left( \; \frac{2}{3} \;  \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n \cdot 2^{k-1}

また、k \; は 1 \leqq k \leqq n \; のそれぞれについて条件をみたすから

\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left\{ \left( \; \frac{2}{3} \;  \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n \cdot 2^{k-1} \right\} =\left( \; \frac{2}{3} \;  \right)^n \cdot n -\left( \; \frac{1}{3} \;  \right)^n \cdot \frac{2^n-1}{2-1}

\displaystyle =\left( \; \frac{2}{3} \;  \right)^n \cdot n -\left( \; \frac{2}{3} \;  \right)^n +\left( \; \frac{1}{3} \;  \right)^n =\frac{2^n(n-1)+1}{3^n}

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)