高校数学の解き方

問題

　　　　　　　　　　第　 $2$ 　問

　平面上の $\; \bigtriangleup \mathrm{OAB} \;$ において、 $\; \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OA}} \Bigr| =2, \; \; \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OB}} \Bigr| =3 \;$ とし、辺 $\; \mathrm{OA} \;$ の中点を $\; \mathrm{M} \;$ とする。 $\; \angle \mathrm{AOB} \;$ の二等分線を $\; k \;$ 、 $\; \angle \mathrm{AMB} \;$ の二等分線を $\; l \;$ とし、 $\; k \;$ と $\; l \;$ の交点を $\; \mathrm{P} \;$ とする。 $\; \overrightarrow{b} = \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \; \; \overrightarrow{m} = \overrightarrow{\mathrm{OM}}, \; \; x= \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{BM}} \Bigr| \;$ とおく。次の問いに答えよ。

$\; (1) \;$ 直線 $\; k \;$ と線分 $\; \mathrm{BM} \;$ の交点を $\; \mathrm{C} \;$ とする。実数 $\; r, \; \; s \;$ が $\; \overrightarrow{\mathrm{OC}} =r \overrightarrow{b}+s \overrightarrow{m} \;$ を満たすとき、 $\; r, \; \; s \;$ の値をそれぞれ求めよ。

$\; (2) \;$ 直線 $\; l \;$ と線分 $\; \mathrm{AB} \;$ の交点を $\; \mathrm{D} \;$ とする。実数 $\; t, \; \; u \;$ が $\; \overrightarrow{\mathrm{MD}} =t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{m} \;$ を満たすとき、 $\; t, \; \; u \;$ をそれぞれ $\; x \;$ の式で表せ。

$\; (3) \;$ 実数 $\; y, \; \; z \;$ が $\; \overrightarrow{\mathrm{OP}} =y \overrightarrow{b}+z \overrightarrow{m} \;$ を満たすとき、 $\; y, \; \; z \;$ をそれぞれ $\; x \;$ の式で表せ。

$\; (4) \;$ 面積比について、 $\; \bigtriangleup \mathrm{OAP} \; : \; \bigtriangleup \mathrm{OAB}=2:3 \;$ が成り立つとする。このとき、 $\; x \;$ の値を求めよ。

解答

$\; (1) \; \; \; \bigtriangleup \mathrm{OBM} \;$ において、 $\displaystyle \;\Bigl| \overrightarrow{b} \Bigr| = \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OB}} \Bigr| =3, \; \; \bigl| \overrightarrow{m} \bigr| = \frac{1}{2} \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OA}} \Bigr| =1 \;$ だから、

$\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \frac{\overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{m} }{3+1} = \frac{1}{4} \overrightarrow{b} + \frac{3}{4} \overrightarrow{m} \;$

よって、 $\displaystyle \; r= \frac{1}{4}, \; \; s= \frac{3}{4} \;$

$\; (2) \; \; \; \bigtriangleup \mathrm{MBA} \;$ において、 $\displaystyle \; \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{MB}} \Bigr| =x, \; \; \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{MA}} \Bigr| = \bigl| \overrightarrow{m} \bigr| =1 \;$ だから、

$\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{MD}} = \frac{ \overrightarrow{\mathrm{MB}} +x \overrightarrow{ \mathrm{MA}} }{x+1} = \frac{ \overrightarrow{b} - \overrightarrow{m} +x \overrightarrow{m} }{x+1} = \frac{1}{x+1} \overrightarrow{b} + \frac{x-1}{x+1} \overrightarrow{m} \;$

よって、 $\displaystyle \; t= \frac{1}{x+1}, \; \; u= \frac{x-1}{x+1} \;$

$\; (3) \; \; \; \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \alpha \overrightarrow{\mathrm{OC}} \;$ と表せるから、 $\; (1) \;$ より、

$\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \alpha \left( \frac{1}{4} \overrightarrow{b} + \frac{3}{4} \overrightarrow{m} \right) = \frac{1}{4} \alpha \overrightarrow{b} + \frac{3}{4} \alpha \overrightarrow{m} \;$

また、 $\; \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OM}} + \beta \overrightarrow{\mathrm{MD}} \;$ と表せるから、 $\; (2) \;$ より、

$\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{m} + \beta \left( \frac{1}{x+1} \overrightarrow{b} + \frac{x-1}{x+1} \overrightarrow{m} \right) \;$

　　 $\displaystyle \; = \frac{\beta}{x+1} \overrightarrow{b} + \left\{ \frac{\beta (x-1)}{x+1} +1 \right\} \overrightarrow{m} \;$

よって、　　 $\displaystyle \; \frac{1}{4} \alpha \overrightarrow{b} + \frac{3}{4} \alpha \overrightarrow{m}　= \frac{\beta}{x+1} \overrightarrow{b} + \left\{ \frac{\beta (x-1)}{x+1} +1 \right\} \overrightarrow{m} \;$

ここで、 $\; \overrightarrow{b} \;$ と $\; \overrightarrow{m} \;$ は一次独立だから、 $\displaystyle \; \frac{1}{4} \alpha = \frac{\beta}{x+1},\; \; \frac{3}{4} \alpha = \frac{\beta (x-1)}{x+1} +1 \;$

$\; \bigtriangleup \mathrm{OBM} \;$ の辺の長さの関係から、 $\; 2 \lt x \lt 4 \;$ だから、 $\displaystyle \; \alpha = \frac{4}{4-x},\; \; \beta = \frac{x-1}{4-x} \;$

よって、 $\displaystyle \; \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{4-x} \overrightarrow{b} + \frac{3}{4-x} \overrightarrow{m} \;$

$\; (4) \; \; \; \angle \mathrm{AOP} = \angle \mathrm{BOP} = \theta \;$ とおくと、題意より $\; 0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ} \;$ となる。 $\; \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OA}} \Bigr| =2, \; \; \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OB}} \Bigr| =3 \;$ だから、

$\displaystyle \; \bigtriangleup \mathrm{OAP} = \frac{1}{2} \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OA}} \Bigr| \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \Bigr| \sin \theta = \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \Bigr| \sin \theta \;$

$\displaystyle \; \bigtriangleup \mathrm{OAB} = \frac{1}{2} \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OA}} \Bigr| \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OB}} \Bigr| \sin 2 \theta =3 \sin 2 \theta \;$

$\; \bigtriangleup \mathrm{OAP} \; : \; \bigtriangleup \mathrm{OAB}=2:3 \;$ より、

$\; 3 \bigtriangleup \mathrm{OAP} =2 \bigtriangleup \mathrm{OAB} \;$ だから、 $\; 3 \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \Bigr| \sin \theta =6 \sin 2 \theta \;$

よって、 $\; \sin \theta \left( \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \Bigr| -4 \cos \theta \right) =0 \;$

$\; 0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ} \;$ のとき $\; \sin \theta \neq 0 \;$ だから、 $\; \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \Bigr| =4 \cos \theta \; \; \cdots (\ast) \;$

一方、 $\; (3) \;$ より、

$\displaystyle \; \Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \Bigr| ^2 = \Bigl| \frac{1}{4-x} \overrightarrow{b} + \frac{3}{4-x} \overrightarrow{m} \Bigr| ^2 \;$

　　 $\displaystyle \; = \frac{1}{(4-x)^2} \left( \bigl| \overrightarrow{b} \bigr| ^2 +6 \bigl| \overrightarrow{b} \bigr| \bigl| \overrightarrow{m} \bigr| \cos 2 \theta +9 \bigl| \overrightarrow{m} \bigr| ^2 \right) \;$