数学(理系)の第5問（2024京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $5$ 　問

　 $\; a \;$ は $\; a \geqq 1 \;$ を満たす定数とする。座標平面上で、次の $\; 4 \;$ つの不等式が表す領域を $\; D_a \;$ とする。

　　　 $\displaystyle \; x \geqq 0 \; , \; \; \; \frac{e^x -e^{-x}}{2} \leqq y \; , \; \; \; y \leqq \frac{e^x +e^{-x}}{2} \; , \; \; \; y \leqq a \;$

次の問いに答えよ。

$\; (1) \; \; \; D_a \;$ の面積 $\; S_a \;$ を求めよ。

$\displaystyle \; (2) \; \; \; \lim_{a \to \infty} S_a \;$ を求めよ。

解答

$\; (1) \;$

$\displaystyle \; \; y= \frac{e^x +e^{-x}}{2} \cdots (A), \; \; y= \frac{e^x -e^{-x}}{2} \cdots (B), \; \; y=a \; \; \cdots (C) \;$

として、これらの曲線の交点を求める。

まず、 $\displaystyle \; \; \frac{e^x +e^{-x}}{2} - \frac{e^x -e^{-x}}{2} =e^{-x} \gt 0 \; \;$ だから、曲線 $\; (A) \;$ と $\; (B) \;$ には交点はない。

次に、曲線 $\; (A) \;$ と $\; (C) \;$ の交点を求める。

$\displaystyle \; \; \frac{e^x +e^{-x}}{2} =a \;$ の正の解を $\; x= \alpha \;$ とすると、 $\displaystyle \; \; \frac{e^{\alpha} +e^{- \alpha}}{2} =a \;$

よって、 $\; e^{\alpha} =a+ \sqrt{a^2-1} \;$ 　つまり、 $\; \alpha = \log (a+ \sqrt{a^2-1}) \;$ 　また、 $\; e^{-\alpha} =a- \sqrt{a^2-1} \;$

さらに、曲線 $\; (B) \;$ と $\; (C) \;$ の交点を求める。

$\displaystyle \; \; \frac{e^x -e^{-x}}{2} =a \;$ の解を $\; x= \beta \;$ とすると、 $\displaystyle \; \; \frac{e^{\beta} -e^{- \beta}}{2} =a \;$

よって、 $\; e^{\beta} =a+ \sqrt{a^2+1} \;$ 　つまり、 $\; \beta = \log (a+ \sqrt{a^2+1}) \;$ 　また、 $\; e^{-\beta} =-a+ \sqrt{a^2+1} \;$

したがって、 $\; D_a \;$ は、曲線 $\; (A) \;$ の $\; 0 \leqq x \leqq \alpha \;$ の範囲と、直線 $\; y=a \;$ の $\; \alpha \leqq x \leqq \beta \;$ の範囲の下の部分で、曲線 $\; (B) \;$ の $\; 0 \leqq x \leqq \beta \;$ の範囲の上の部分と、 $\; y \;$ 軸に囲まれた部分である。（図は省略）

$\displaystyle \; S_a = \int_{0}^{\alpha} \frac{e^x +e^{-x}}{2} \; dx +a( \beta - \alpha ) - \int_{0}^{\beta} \frac{e^x -e^{-x}}{2} \; dx \;$

　　 $\displaystyle \; = \Bigl[ \frac{e^x -e^{-x}}{2} \Bigr]_{0}^{\alpha} +a( \beta - \alpha ) - \Bigl[ \frac{e^x +e^{-x}}{2} \Bigr]_{0}^{\beta} \;$

　　 $\displaystyle \; = \frac{e^{\alpha} -e^{-\alpha}}{2} +a( \beta - \alpha )- \frac{e^{\beta} +e^{-\beta}}{2} +1 \;$

ここで、

$\displaystyle \; \frac{e^{\alpha} -e^{-\alpha}}{2} - \frac{e^{\beta} +e^{-\beta}}{2} \;$

$\displaystyle \; = \frac{a+ \sqrt{a^2-1} -(a- \sqrt{a^2-1})}{2} - \frac{a+ \sqrt{a^2+1} -a+ \sqrt{a^2+1}}{2} \;$

$\displaystyle \; = \sqrt{a^2-1} - \sqrt{a^2+1} \;$

また、

$\displaystyle \; a( \beta - \alpha ) \;$

$\displaystyle \; = a \; \Bigl\{ \log (a+ \sqrt{a^2+1}) - \log (a+ \sqrt{a^2-1}) \Bigr\} \;$

$\displaystyle \; = a \; \log \frac{ a+ \sqrt{a^2+1} }{ a+ \sqrt{a^2-1} } \;$

よって、

$\displaystyle \; S_a = \sqrt{a^2-1} - \sqrt{a^2+1} +a \; \log \frac{ a+ \sqrt{a^2+1} }{ a+ \sqrt{a^2-1} } +1 \;$

$\displaystyle \; (2) \; \; \; \lim_{a \to \infty} ( \sqrt{a^2-1} - \sqrt{a^2+1} ) \; = \lim_{a \to \infty} \left( - \; \frac{2}{\sqrt{a^2-1} + \sqrt{a^2+1}} \right) =0 \;$

次に、 $\displaystyle \; \frac{1}{a} =t \;$ とおくと、

$\displaystyle \; a \; \log \frac{ a+ \sqrt{a^2+1} }{ a+ \sqrt{a^2-1} } = a \; \log \cfrac{ 1+ \sqrt{1+\cfrac{1}{a^2}} }{ 1+ \sqrt{1-\cfrac{1}{a^2}} } \; = \frac{1}{t} \; \log \frac{ 1+ \sqrt{1+t^2} }{ 1+ \sqrt{1-t^2} } \; = \; \cfrac{ \log \cfrac{ 1+ \sqrt{1+t^2} }{ 1+ \sqrt{1-t^2} }}{t} \;$

$\; a \rightarrow \infty \;$ のとき $\; t \rightarrow 0 \;$ だから、 $\displaystyle \; f(t)= \log \cfrac{ 1+ \sqrt{1+t^2} }{ 1+ \sqrt{1-t^2} } \;$ とおくと、 $\; f(0)=0 \;$ となり、

$\displaystyle \; \cfrac{ \log \cfrac{ 1+ \sqrt{1+t^2} }{ 1+ \sqrt{1-t^2} }}{t} = \frac{f(t)}{t} = \frac{f(t)-f(0)}{t-0} \;$

関数 $\; f(x) \;$ は $\; [ 0,\; \; t ] \;$ で連続で、 $\; ( 0,\; \; t ) \;$ で微分可能だから、平均値の定理より、 $\; 0 \leqq c \leqq t \;$ となる $\; c \;$ が存在して、

　　　 $\displaystyle \; \frac{f(t)-f(0)}{t-0} = f'(c) \;$

$\; t \rightarrow 0 \;$ のとき $\; c \rightarrow 0 \;$ だから、

　　　 $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{f(t)-f(0)}{t-0} = \lim_{t \to 0} f'(c)=f'(0) \;$

よって、

$\; f'(t)= \left\{ \log (1+ \sqrt{1+t^2})- \log (1+ \sqrt{1-t^2}) \right\}' \;$

　　 $\displaystyle \; = \frac{1}{1+ \sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} + \frac{1}{1+ \sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \;$

よって、 $\; f'(0)=0 \;$

したがって、

$\displaystyle \; \lim_{a \to \infty} a \; \log \frac{ a+ \sqrt{a^2+1} }{ a+ \sqrt{a^2-1} } = \lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t} =f'(0)=0 \;$

以上より、

$\displaystyle \; \lim_{a \to \infty} S_a = \lim_{a \to \infty} ( \sqrt{a^2-1} - \sqrt{a^2+1} ) \; + \lim_{a \to \infty} a \; \log \frac{ a+ \sqrt{a^2+1} }{ a+ \sqrt{a^2-1} } +1=0+0+1=1 \;$