数学(理系)の第6問（2024京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $6$ 　問

　自然数 $\; k \;$ に対して、 $a_k =2^\sqrt{k} \;$ とする。 $n \;$ を自然数とし、 $a_k \;$ の整数部分が $\; n \;$ 桁であるような $\; k \;$ の個数を $\; N_n \;$ とする。また、 $a_k \;$ の整数部分が $\; n \;$ 桁であり、その最高位の数字が $\; 1 \;$ であるような $\; k \;$ の個数を $\; L_n \;$ とする。次を求めよ。

　　　　　 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{L_n}{N_n} \;$

ただし、例えば実数 $\; 2345.678 \;$ の整数部分 $\; 2345 \;$ は $\; 4 \;$ 桁で、最高位の数字は $\; 2 \;$ である。

解答

整数部分が $\; n \;$ 桁の数 $\; a_k \;$ は　 $10^{n-1} \leqq a_k \lt 10^n \;$

よって、 $10^{n-1} \leqq 2^\sqrt{k} \lt 10^n \;$ より

$\{ (n-1) \log_2 10 \} ^2 \leqq k \lt (n \log_2 10 )^2 \; \cdot \cdot \cdot ( \mathrm{A} )$

また、最高位の数字が $\; 1 \;$ で、整数部分が $\; n \;$ 桁の数 $\; a_k \;$ は　 $10^{n-1} \leqq a_k \lt 2 \times 10^{n-1} \;$

よって、 $10^{n-1} \leqq 2^\sqrt{k} \lt 2 \times 10^{n-1} \;$ より

$\{ (n-1) \log_2 10 \} ^2 \leqq k \lt \{ 1+(n-1) \log_2 10 \} ^2 \; \cdot \cdot \cdot ( \mathrm{B} )$

実数 $\; x \;$ に対して、 $m \leqq x \;$ を満たす最大の整数 $\; m \;$ を $\; [ \; x \; ] \;$ で表す。 $m \;$ が最大のとき、 $x-1 \lt m \leqq x \;$ だから、 $x-1 \lt [ \; x \; ] \leqq x \;$

同様に実数 $\; y \;$ に対して、 $y-1 \lt [ \; y \; ] \leqq y \;$

よって、 $x-y-1 \lt [ \; x \; ]- [ \; y \; ] \lt x-y+1 \;$

したがって、 $( \mathrm{A} ) \;$ を満たす自然数 $\; k \;$ の個数は、

$N_n= \big[ \; (n \log_2 10 )^2 \; \big] - \big[ \; \{ (n-1) \log_2 10 \} ^2 \; \big] \;$ より

$(n \log_2 10 )^2 - \{ (n-1) \log_2 10 \} ^2 -1 \lt N_n \lt (n \log_2 10 )^2 - \{ (n-1) \log_2 10 \} ^2 +1 \;$

よって、 $(2n-1)( \log_2 10 )^2 -1 \lt N_n \lt (2n-1)( \log_2 10 )^2 +1 \;$

また、 $( \mathrm{B} ) \;$ を満たす自然数 $\; k \;$ の個数は、

$L_n= \big[ \; \{ 1+(n-1) \log_2 10 \} ^2 \; \big] - \big[ \; \{ (n-1) \log_2 10 \} ^2 \; \big] \;$ より

$\{ 1+(n-1) \log_2 10 \} ^2 - \{ (n-1) \log_2 10 \} ^2 -1 \lt L_n \lt \{ 1+(n-1) \log_2 10 \} ^2 - \{ (n-1) \log_2 10 \} ^2 +1 \;$

よって、 $2(n-1) \log_2 10 \lt L_n \lt 2+2(n-1) \log_2 10 \;$

以上より、次の関係が成り立つ。

　　　 $\displaystyle \frac{2(n-1) \log_2 10}{(2n-1)( \log_2 10 )^2 +1} \lt \frac{L_n}{N_n} \lt \frac{2+2(n-1) \log_2 10}{(2n-1)( \log_2 10 )^2 -1}$

ここで、

　　 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2(n-1) \log_2 10}{(2n-1)( \log_2 10 )^2 +1} = \lim_{n \to \infty} \cfrac{2\Big(1- \cfrac{1}{n} \Big) \log_2 10}{\Big(2- \cfrac{1}{n} \Big)( \log_2 10 )^2 + \cfrac{1}{n} } = \frac{1}{\log_2 10} = \log_{10} 2$

　　 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2+2(n-1) \log_2 10}{(2n-1)( \log_2 10 )^2 -1} = \lim_{n \to \infty} \cfrac{\cfrac{2}{n} +2\Big(1- \cfrac{1}{n} \Big) \log_2 10}{\Big(2- \cfrac{1}{n} \Big)( \log_2 10 )^2 - \cfrac{1}{n} } = \frac{1}{\log_2 10} = \log_{10} 2$