高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第5問（2017東京大学入試）

東京大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　 $5$ 　問

　 $k\;$ を実数とし，座標平面上で次の $\; 2\;$ つの放物線 $\; \mathrm{C},\; \mathrm{D}\;$ の共通接線について考える。

　　　　　　 $\mathrm{C}:　y=x^2+k$

　　　　　　 $\mathrm{D}:　x=y^2+k$

$(1)\; \;$ 直線 $\; y=ax+b\;$ が共通接線であるとき， $a\;$ を用いて $\; k\;$ と $\; b\;$ を表せ。ただし $\; a\neq -1\;$ とする。

$(2)\; \;$ 傾きが $\; 2\;$ の共通接線が存在するように $\; k\;$ の値を定める。このとき，共通接線が $\; 3\;$ 本存在することを示し，それらの傾きと $\; y\;$ 切片を求めよ。

解答

$(1)\; \;$ 　　　 $\mathrm{L}:　y=ax+b$ 　　とする。

$a=0\;$ のとき，放物線 $\; \mathrm{C}\;$ の接線は　　 $y=k$

これは放物線 $\; \mathrm{D}\;$ と $\; 1\;$ 点で交わり，接線ではない。

$a\neq 0\;$ のとき， $\; \mathrm{C}\;$ と $\; \mathrm{L}\;$ を連立すると　　 $x^2-ax+k-b=0$

$2\;$ つは接するから，この $\; x\;$ の二次方程式の判別式が $\; 0\;$ になる。

　　　　　　 $a^2-4k+4b=0　　\cdots (\mathrm{A})$

$\mathrm{D}\;$ と $\; \mathrm{L}\;$ を連立すると　　 $\displaystyle y^2-\frac{y}{a}+k+\frac{b}{a}=0$

$2\;$ つは接するから，この $\; y\;$ の二次方程式の判別式が $\; 0\;$ になる。

　　　　　　 $\displaystyle \frac{1}{a^2}-4k-\frac{4b}{a}=0　　\cdots (\mathrm{B})$

$(\mathrm{A})+a\times (\mathrm{B})\;$ より　 $\displaystyle a^2+\frac{1}{a}-4k(a+1)=0$

　　　　　　 $\displaystyle (a+1)(a-1+\frac{1}{a}-4k)=0　　\cdots (\mathrm{E})$

$a\neq -1\;$ だから　　 $\displaystyle k=\frac{a}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4a}$

$(\mathrm{A})\;$ より　　 $\displaystyle b=-\frac{a^2}{4}+k$

　　　　　　　 $\displaystyle =-\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4a}$

$(2)\; \; a=2$ のとき　 $(1)\;$ より　 $\displaystyle k=\frac{3}{8}$

　　　　　　 $\displaystyle \mathrm{C}:　y=x^2+\frac{3}{8}$

　　　　　　 $\displaystyle \mathrm{D}:　x=y^2+\frac{3}{8}$

直線 $\; y=ax+b\;$ が共通接線であるとき， $(1)\;$ のようにして解くと

$\displaystyle k=\frac{3}{8}$ を $\; (\mathrm{E})\;$ に代入して

　　　　　　 $\displaystyle (a+1)(a-\frac{5}{2}+\frac{1}{a})=0$

これを整理すると　　 $\displaystyle (a+1)(a-2)(a-\frac{1}{2})=0$

　　　　　　 $\displaystyle a=-1,\; \; 2,\; \; \frac{1}{2}$

よって，共通接線は $\; 3\;$ 本存在する。

$(\mathrm{A})\;$ に $\displaystyle \; k=\frac{3}{8}\;$ を代入して変形すると

　　　　　　 $\displaystyle b=-\frac{a^2}{4}+\frac{3}{8}$

だから　 $a=-1\;$ のとき　傾き $\; -1\;$ ， $y\;$ 切片 $\displaystyle \; b=-\frac{1}{4}+\frac{3}{8}=\frac{1}{8}$

$a=2\;$ のとき　傾き $\; 2\;$ ， $y\;$ 切片 $\displaystyle \; b=-\frac{4}{4}+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$

$\displaystyle a=\frac{1}{2}\;$ のとき　傾き $\displaystyle \; a=\frac{1}{2}\;$ ， $y\;$ 切片 $\displaystyle \; b=-\frac{1}{16}+\frac{3}{8}=\frac{5}{16}$

ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）