第 問
数列を
で定める。
とする。を既約分数として表したときの分母と分子を求めよ。
が整数となるをすべて求めよ。
解答
のとき、
ここで、とする。
でのいずれか一方は正の偶数だから、は正の整数でである。
また、をで割ると、商がで余りがだから、との最大公約数は、との最大公約数に等しい。
同様に、をで割ると、商がで余りがだから、との最大公約数は、との最大公約数に等しい。
よって、は既約分数である。
以上より、である。
のとき、
のとき、よりだから
のとき、
のとき、
ここで分子の積を考えると、
次に分母の積は、
このことより、分子は奇数、分母は偶数だから、の分母はとならない。
したがって、 が整数となるのは、だけである。
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