高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第4問（2017東京大学入試）

東京大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　 $4$ 　問

　 $\; p=2+\sqrt{5} \;$ とおき，自然数 $\; n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots \; \;$ に対して

　　　　　　 $\displaystyle a_n=p^n+\left(-\frac{\; 1\; }{p}\right)^n\;$

と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問 $\; (1)\;$ は結論のみを書けばよい。

$(1)\; \; a_1,\; a_2\;$ の値を求めよ。

$(2)\; \; n\geqq 2\;$ とする。積 $\; a_1a_n\;$ を， $\; a_{n+1}\;$ と $\; a_{n-1}\;$ を用いて表せ。

$(3)\; \; a_n\;$ は自然数であることを示せ。

$(4)\; \; a_{n+1}\;$ と $\; a_n\;$ の最大公約数を求めよ。

解答

$(1)\; \; a_1=4,\; \; a_2=18$

$(2)\; \; a_1a_n$

　　 $\displaystyle =\left\{p+\left(-\frac{\; 1\; }{p}\right)\right\}\left\{p^n+\left(-\frac{\; 1\; }{p}\right)^n\right\}$

　　 $\displaystyle =p^{n+1}+\left(-\frac{\; 1\; }{p}\right)^{n+1}-\left\{p^{n-1}+\left(-\frac{\; 1\; }{p}\right)^{n-1}\right\}$

　　 $=a_{n+1}-a_{n-1}$

$(3)\; \;$ 数学的帰納法を用いて証明する。

　　 $[1]\; \; n=1,\; 2\;$ のとき　 $(1)\;$ より　 $a_n\;$ は自然数である。

　　 $[2]\; \; n=k,\; k+1\;$ のとき　 $a_k,\; \; a_{k+1}\;$ は自然数であると仮定する。

　　　　 $n=k+2\;$ のとき　 $(2)\;$ より　 $a_{k+2}=a_1a_{k+1}+a_k$

　　　　よって　 $n=k+2\;$ のときも $\; a_n\;$ は自然数である。

　　 $[1],\; [2]\;$ より，すべての自然数 $\; n\;$ について $\; a_n\;$ は自然数である。

$(4)\; \;$ $(2)\;$ より　 $a_{n+1}=a_1a_n+a_{n-1}$

　　 $(3)\;$ より　 $a_1,\; \; a_n,\; \; a_{n-1}\;$ は自然数だから　 $a_{n+1}\gt a_n$

　　よって　 $a_{n+1}\gt a_n\gt a_{n-1}\gt \cdots \gt a_1$

　　 $a_{n+1}\;$ と $\; a_n\;$ の最大公約数を，ユークリッドの互除法を用いて求める。

　　　　　 $a_{n+1}=a_1a_n+a_{n-1}$

　　　　　　 $\; a_n=a_1a_{n-1}+a_{n-2}$

　　　　　　　　 $\vdots$

　　　　　　 $\; \; a_3=a_1a_2+a_1$

　　　　　　 $\; \; a_2=4a_1+2$

　　　　　　 $\; \; a_1=2\times2+0$

　　よって　 $a_{n+1}\;$ と $\; a_n\;$ の最大公約数は $\; 2\;$ である。

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