第 問
半径の球面上の点は、正方形を底面とする四角錐をなしている。この点が球面上を動くとき、四角錐の体積の最大値を求めよ。
解答
半径の球面をとする。
点は、正方形だから同一平面上にあり、図形の対称性よりこの平面をとしてよい。
この球面と平面の交わる図形は、円となる。この円周上に点がある。正方形の対角線はその交点がこの円の中心で、直交することから、どれも合同である。よって、そのつを次のようにする。
(図は省略)
その正方形の辺の長さは、だから、その面積は
である。この球面上の点とする。ただし、図形の対称性からとしてよい。
点から平面に垂線をひき、その足をとすると、となる。その長さ、つまりこの四角錐の高さは
だから、最大となるのはのときで
以上のことより、この四角錐の体積は
(グラフは省略)
よって、のとき、底面の正方形の辺が
高さが
の四角錐の体積が最大値 となる。
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