問題
第 問
四面体を考える。点は,それぞれ辺上にあり,頂点ではないとする。このとき,次の問いに答えよ。
とが平行ならばであることを示せ。
が正八面体の頂点となっているとき,これらの点はの各辺の中点であり,は正四面体であることを示せ。
解答
とすると
と表せる。
と が平行のとき で
これにとを代入して整理すると
は一次独立だから
より だから
と同様にして,正八面体では と が平行だから
と が平行だから
これらより
これとより だから はの中点である。
正八面体の対称性により,はの各辺の中点である。
また,で点はそれぞれ辺の中点だから,中点連結定理より
同様にして
正八面体では だから
よって,は正四面体である。
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