数学(理系)の第1問（2019広島大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　 $a \gt 0,\; r \gt 0 \;$ とし、数列 $\; \{ a_n \} \;$ を初項 $\; a \;$ 、公比 $\; r \;$ の等比数列とする。また、数列 $\; \{ b_n \} \;$ は次のように定義される。

　　　　　 $b_1=a_1,\; \; b_{n+1}=b_n a_{n+1}\; \; (n=1,2,3,\cdots )$

次の問いに答えよ。

$(1) \; b_n \;$ を $\; a,\; r \;$ および $\; n \;$ を用いて表せ。

$(2) \;$ 一般項が

　　　　　 $\displaystyle c_n=\frac{\log_2 b_n }{n }$

　　である数列 $\; \{ c_n \} \;$ は等差数列であることを証明せよ。

$(3) \; \; (2) \;$ で与えられた数列 $\; \{ c_n \} \;$ の初項から第 $\; n \;$ 項までの平均を $\; M_n \;$ とする。すなわち、

　　　　　 $\displaystyle M_n=\frac{1 }{n } \sum_{k=1}^n c_k$

　　とする。このとき、一般項が

　　　　　 $d_n=2^{M_n}$

　　である数列 $\; \{ d_n \} \;$ は等比数列であることを証明せよ。

解答

$(1) \; \;$ 数列 $\; \{ a_n \} \;$ は、初項 $\; a \gt 0 \;$ 、公比 $\; r \gt 0 \;$ の等比数列だから、 $a_n=ar^{n-1} \gt 0 \;$

また、 $b_1=a_1=a \gt 0, \; \; b_2=b_1 a_2 \gt 0, \; \; b_3=b_2 a_3 \gt 0, \; \; \cdots ,\; \; b_n=b_{n-1} a_n \gt 0 \; \;$ である。よって、

$\displaystyle \frac{b_2}{b_1}=a_2=ar,\; \; \frac{b_3}{b_2}=a_3=ar^2,\; \; \cdots , \; \; \frac{b_n}{b_{n-1}}=a_n=ar^{n-1}$

辺々相掛け合わせると、 $\displaystyle \frac{b_n}{b_1}=a^{n-1}r^{\frac{1}{2}n(n-1)}$

ゆえに、 $\displaystyle b_n=a^n r^{\frac{1}{2}n(n-1)}$

$\displaystyle (2) \; \; c_n=\frac{\log_2 b_n }{n } =\frac{\log_2 a^n r^{\frac{1}{2}n(n-1)} }{n }=\log_2 a r^{\frac{1}{2}(n-1)} \;$ だから

$\displaystyle c_{n+1}-c_n=\log_2 a r^{\frac{1}{2}n} - \log_2 a r^{\frac{1}{2}(n-1)} =\log_2 r^{\frac{1}{2}} \; \;$ （定数）

また、 $c_1=\log_2 b_1=\log_2 a$

よって、数列 $\; \{ c_n \} \;$ は、初項 $\; \log_2 a \;$ 、公差 $\displaystyle \log_2 r^{\frac{1}{2}} \; \;$ の等差数列である。　（証明終）

$(3) \; \; (2) \;$ より $\displaystyle \; \; \sum_{k=1}^n c_k =\frac{1}{2} n \{ 2 \log_2 a + (n-1) \log_2 r^{\frac{1}{2}} \}$

　　　　　 $\displaystyle = n \log_2 a + \frac{1}{2}n(n-1) \log_2 r^{\frac{1}{2}}$

　　　　　 $\displaystyle = \log_2 a^n r^{\frac{1}{4}n(n-1)}$

よって、 $\displaystyle M_n=\frac{1 }{n } \log_2 a^n r^{\frac{1}{4}n(n-1)}=\log_2 a r^{\frac{1}{4}(n-1)}$

　　　　　 $\displaystyle d_n=2^{M_n}=2^{\log_2 a r^{\frac{1}{4}(n-1)}}=a r^{\frac{1}{4}(n-1)} \gt 0 \; \;$ だから

　　　　　 $\displaystyle \frac{d_{n+1}}{d_n}=\frac{a r^{\frac{1}{4}n}}{a r^{\frac{1}{4}(n-1)}}=r^{\frac{1}{4}}$

また、 $d_1=a$

したがって、数列 $\; \{ d_n \} \;$ は、初項 $\; a \;$ 、公比 $\displaystyle r^{\frac{1}{4}} \; \;$ の等比数列である。（証明終）

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