数学(理系)の第3問（2019広島大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $3$ 　問

　関数 $\; f(x) \;$ は実数全体で連続で、すべての実数 $\; x \;$ に対して

　　　　　 $\displaystyle f(x)=(1-x) \cos x +x \sin x - \int_{0}^{x} e^{x-t} f(t) dt$

を満たすとする。ただし、 $e \;$ は自然対数の底である。次の問いに答えよ。

$(1) \; \; f(0) \;$ の値を求めよ。また、 $f'(x)=2(x-1) \cos x \;$ が成り立つことを示せ。

$(2) \; \; f(x) \;$ を求めよ。

$(3) \; \;$ 方程式 $\; f(x)=0 \;$ は、 $0 \lt x \lt \pi \;$ の範囲にただ一つの解をもつことを示せ。

$(4) \; \; (3) \;$ のただ一つの解を $\; \alpha \;$ とする。曲線 $\; y=f(x) \; \; (0 \leqq x \leqq \alpha ), \; \; x \;$ 軸および $\; y \;$ 軸によって囲まれる部分の面積を $\; S_1 \;$ とし、曲線 $\; y=f(x) \; \; (\alpha \leqq x \leqq \pi ), \; \; x \;$ 軸および直線 $\; x= \pi \;$ によって囲まれる部分の面積を $\; S_2 \;$ とする。 $S_1 \;$ と $\; S_2 \;$ の大小を判定せよ。

解答

$\displaystyle (1) \; \; f(0)= \cos 0 - \int_{0}^{0} e^{-t} f(t) dt =1 \;$

$\displaystyle g(x)= \int_{0}^{x} e^{x-t} f(t) dt \;$ とおくと、

$\displaystyle g(x)= e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f(t) dt \;$ だから、

$\displaystyle g'(x)= e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f(t) dt + e^x e^{-x} f(x) \;$

　　 $\displaystyle = \int_{0}^{x} e^{x-t} f(t) dt + f(x) \;$

　　 $\displaystyle = \int_{0}^{x} e^{x-t} f(t) dt + (1-x) \cos x +x \sin x - \int_{0}^{x} e^{x-t} f(t) dt \;$

　　 $= (1-x) \cos x +x \sin x \;$

よって、 $f(x)=(1-x) \cos x +x \sin x - g(x) \;$ だから

$f'(x)=- \cos x -(1-x) \sin x + \sin x +x \cos x - g'(x) \;$

　　　 $=- \cos x -(1-x) \sin x + \sin x +x \cos x - \{(1-x) \cos x +x \sin x \} \;$

　　　 $=2(x-1) \cos x$

$\displaystyle (2) \; \; f(x)= \int 2(x-1) \cos x dx \;$

　　　　　 $\displaystyle = \int 2(x-1)( \sin x )'dx \;$

　　　　　 $\displaystyle = 2(x-1) \sin x - \int 2 \sin x dx \;$

　　　　　 $= 2(x-1) \sin x +2 \cos x +C \; \; (C \;$ は積分定数 $\; )$

$f(0)=1 \;$ だから、 $2+C=1 \;$ より　 $C=-1$

したがって、 $f(x)=2(x-1) \sin x +2 \cos x -1$

$(3) \; \; 0 \lt x \lt \pi \;$ で、 $f'(x)=0 \;$ となるのは、 $\displaystyle x=1, \; \; \frac{\pi}{2} \;$ だから

$\; \; \; x$	$0$	$\cdots$	$\; \; \; \; \; \; 1$	$\cdots$	$\displaystyle \; \; \frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\; \pi$
$f'(x)$	$\; \;$	$-$	$\; \; \; \; \; \; 0$	$+$	$\; \; \; 0$	$-$	$\; \;$
$f(x)$	$1$	$\searrow$	$2 \cos 1-1$	$\nearrow$	$\pi -3$	$\searrow$	$-3$

$\displaystyle 0 \lt 1 \lt \frac{\pi}{3} \lt \frac{\pi}{2} \;$ だから、 $\displaystyle \cos 0 \gt \cos 1 \gt \cos \frac{\pi}{3} \gt \cos \frac{\pi}{2} \;$ より、

　　　　　 $\displaystyle 1 \gt \cos 1 \gt \frac{1}{2} \gt 0$

よって、 $\displaystyle f(1)=2 \cos 1-1 \gt 0,\; \; f \left( \frac{\pi}{2} \right) =\pi -3 \gt 0,\; \; f(\pi ) =-3 \lt 0 ,\; \; \frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi \;$ で単調減少