高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第4問（2019広島大学入試）

広島大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　 $4$ 　問

　 $i \;$ を虚数単位とし、複素数 $\; z \;$ に対して、

　　　　　 $w=z^2+2z+1-2i$

とおく。次の問いに答えよ。

$(1) \; \; w \;$ の実部が $\; 0 \;$ となる複素数 $\; z \;$ 全体を複素数平面上に図示せよ。

$(2) \; \; w=0 \;$ を満たす複素数 $\; z \;$ の個数は $\; 2 \;$ 個であることを証明し、それぞれを $\; a+bi \; \; (a,\; b \;$ は実数 $\; ) \;$ の形に書き表せ。

$(3) \; \; (2) \;$ で求めた二つの複素数のうち実部の大きい方を $\; \alpha \;$ 、実部の小さい方を $\; \beta \;$ とし、対応する複素数平面上の点をそれぞれ $\; \mathrm{A},\; \mathrm{B} \;$ とする。また、線分 $\; \mathrm{AB} \;$ の中点を $\; \mathrm{M} \;$ とする。複素数 $\; z \;$ に対応する複素数平面上の点が、線分 $\; \mathrm{AM} \;$ 上（両端を含む）を動くとき、複素数 $\; w \;$ の描く図形を複素数平面上に図示せよ。

$(4) \; \;$ 複素数 $\; z \;$ に対応する複素数平面上の点が、点 $\; \mathrm{A} \;$ を通り線分 $\; \mathrm{AB} \;$ に垂直な直線上を動くとき、複素数 $\; w \;$ の描く図形を複素数平面上に図示せよ。

解答

$z=x+yi \; \; (x,\; y \;$ は実数 $\; ) \;$ とすると、

$w=z^2+2z+1-2i=(x+yi)^2+2(x+yi)+1-2i= \{ (x+1)^2-y^2 \} + \{ 2y(x+1)-2 \} i \; \; \cdots (\ast)$

$(1) \; \; w \;$ の実部が $\; 0 \;$ だから、 $\; (x+1)^2-y^2=0 \;$

よって、 $y= \pm (x+1) \;$ となるから、複素数 $\; z \;$ 全体を複素数平面上に図示すると、直線 $\; y=x+1 \;$ と直線 $\; y=-x-1 \;$ である。（図は省略）

　

$(2) \; \; w=0 \;$ だから、実部も $\; 0 \;$ 、虚部も $\; 0 \;$ となる。虚部が $\; 0 \;$ となるのは、 $(\ast) \;$ から $\; 2y(x+1)-2=0 \;$

$x=-1 \;$ のとき、虚部は $\; 0 \;$ とならないから、 $x \neq -1 \;$ より

　　　 $\displaystyle y= \frac{1}{x+1} \;$

これは、直線 $\; x=-1,\; \; y=0 \;$ を漸近線とする双曲線である。

実部が $\; 0 \;$ となる直線 $\; y=x+1 \;$ との共有点は、 $\; 2 \;$ 点である。直線 $\; y=-x-1 \;$ との共有点はない。よって、 $w=0 \;$ を満たす複素数 $\; z \;$ の個数は $\; 2 \;$ 個である。（図は省略）

この共有点を求める。 $\displaystyle y=x+1,\; \; y= \frac{1}{x+1} \;$ を連立して解くと、 $x=0,\; \; -2$

よって、 $(x,\; \; y)=(0,\; \; 1),\; \; (-2,\; \; -1) \;$ だから、 $\; z=i,\; \; -2-i \;$

　

$(3) \; \; \alpha =i,\; \; \beta =-2-i \;$ だから、 $A(i),\; B(-2-i) \;$ より $\; M(-1) \;$

よって、 $z=x+yi \;$ は線分 $\; y=x+1 \; (-1 \leqq x \leqq 0)$ 上を動く。よって、 $(\ast) \;$ から

$w=u+vi \; \; (u,\; v \;$ は実数 $\; ) \;$ とすると、

$u=(x+1)^2-y^2=(x+1)^2-(x+1)^2=0$

$v=2y(x+1)-2=2(x+1)(x+1)-2= 2(x+1)^2 -2$

よって、 $u=0, \; \; -2 \leqq v \leqq 0 \;$ 　だから、複素数 $\; w \;$ の描く図形は、虚軸上の $\; -2 \leqq y \leqq 0 \;$ の部分の線分である。（図は省略）

　

$(4) \; \;$ 複素数 $\; z \;$ は直線 $\; y=-x+1 \;$ 上を動くから、 $(3) \;$ と同様にして、

$w=u+vi \; \; (u,\; v \;$ は実数 $\; ) \;$ とすると、

$u= (x+1)^2-y^2 =(x+1)^2-(-x+1)^2 =4x$

$v= 2y(x+1)-2 = 2(-x+1)(x+1)-2 = -2x^2$

よって、 $\displaystyle \; v=- \frac{1}{8} u^2 \;$

したがって、複素数 $\; w \;$ の描く図形は、放物線 $\displaystyle \; y=- \frac{1}{8} x^2 \; \; \;$ （図は省略）

　

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