高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの6（p.100，数学Ⅲ，数研）

数学Ⅲ　数研教科書

問題

${\Large 6}.$ 　 $a^2+bc\neq 0,\; \; c\neq 0\;$ のとき，関数 $\displaystyle \; f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}\;$ の逆関数は， $f(x)\;$ に等しいことを証明せよ。

解答

$\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx-a}\;$ とする。

ここで， $\displaystyle ax+b=\frac{a}{c}(cx-a)+\frac{a^2+bc}{c}\;$ だから

　　　　　 $\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx-a}=\frac{a}{c}+\frac{a^2+bc}{c(cx-a)}$

$a^2+bc\neq 0,\; \; c\neq 0\;$ より　 $\displaystyle y\neq \frac{a}{c}\; \; \cdots (1)$

$\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx-a}\;$ を変形すると， $y(cx-a)=ax+b\;$ より

　　　　　 $(cy-a)x=ay+b$

$(1)\;$ より， $cy-a\neq 0\;$ だから

　　　　　 $\displaystyle x=\frac{ay+b}{cy-a}$

よって，逆関数は， $x\;$ と $\; y\;$ を入れ替えて

　　　　　 $\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx-a}$

ゆえに，関数 $\displaystyle \; f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}\;$ の逆関数は， $f(x)\;$ に等しい。　　（終）

ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）