高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの7（p.100，数学Ⅲ，数研）

数学Ⅲ　数研教科書

問題

${\Large 7}.$ 　 $a,\; b,\; p,\; q,\; r\;$ は定数で， $a\neq 0,\; \; p\neq 0\;$ とする。 $2\;$ つの関数 $\; f(x)=ax+b,\; \; g(x)=px^2+qx+r\;$ について，合成関数 $\; (f\circ g)(x)\;$ と $\; (g\circ f)(x)\;$ が一致するとき， $a,\; b,\; p,\; q,\; r\;$ の満たすべき条件を求めよ。

解答

$(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)\;$ のとき　 $f(g(x))=g(f(x))$

よって　 $a(px^2+qx+r)+b=p(ax+b)^2+q(ax+b)+r$

ゆえに　 $apx^2+aqx+ar+b=a^2px^2+(2abp+aq)x+b^2p+bq+r$

これが $\; x\;$ についての恒等式であるから

$ap=a^2p\; \; \cdots(1)$ 　　 $aq=2abp+aq\; \; \cdots(2)$ 　　 $ar+b=b^2p+bq+r\; \; \cdots(3)$

$(1)\;$ より　 $ap(a-1)=0$

$a\neq 0,\; \; p\neq 0\;$ だから　 $a=1$

$(2)\;$ より　 $abp=0$

$a\neq 0,\; \; p\neq 0\;$ だから　 $b=0$

$(3)\;$ より　 $(a-1)r=b(bp+q-1)$

$a=1,\;\; b=0\;$ のとき　 $p(\neq 0),\; q,\; r\;$ は任意の実数で成り立つ。

したがって，求める条件は　 $a=1,\;\; b=0$

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