問題
放物線について,次の問いに答えよ。
傾きがである接線の方程式を求めよ。ただし,とする。
直交するつの接線の交点の軌跡を求めよ。
解答
傾きがである直線の方程式を
とする。これをに代入すると
整理すると
だから,この次方程式の判別式をとすると
直線が放物線に接するための条件は,であるから
放物線だから,またより
よって,接線の方程式は
傾きがである直線に直交する接線の傾きは であるから,その方程式はの結果を利用して
直交するつの接線の交点の座標は,つを連立して解くと
整理して
より
これをに代入して
ゆえに
このとき,放物線の接線の傾きは,となるすべての実数をとるから,交点の座標は常に(定数)で,座標はすべての実数となる。
よって,求める交点の軌跡は,直線である。
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