数学(理系)の第6問（2018京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $6$ 　問

　四面体 $\; \mathrm{ABCD} \;$ は $\; \mathrm{AB} = \mathrm{BD},\; \mathrm{AD} = \mathrm{BC} \;$ を満たすとし、辺 $\; \mathrm{AB}\;$ の中点を $\; \mathrm{P}, \;$ 辺 $\; \mathrm{CD} \;$ の中点を $\; \mathrm{Q} \;$ とする。

$(1)$ 　辺 $\; \mathrm{AB}\;$ と線分 $\; \mathrm{PQ}\;$ は垂直であることを示せ。

$(2)$ 　線分 $\; \mathrm{PQ}\;$ を含む平面 $\; \alpha \;$ で四面体 $\; \mathrm{ABCD}\;$ を切って $\; 2 \;$ つの部分に分ける。このとき、 $2 \;$ つの部分の体積は等しいことを示せ。

解答

$(1)　\mathrm{AC}=\mathrm{BD} \;$ だから　 $\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{BD} } \big|^2 \;$ で　 $\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} }-\overrightarrow{\mathrm{AB} } \big|^2 \;$ より

　　 $\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} }\big|^2-2\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD} } +\big|\overrightarrow{\mathrm{AB} }\big|^2\cdots$ (ア)

$\mathrm{AD}=\mathrm{BC} \;$ だから　 $\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{BC} } \big|^2 \;$ で　 $\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} }-\overrightarrow{\mathrm{AB} } \big|^2 \;$ より

　　 $\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} }\big|^2-2\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC} } +\big|\overrightarrow{\mathrm{AB} }\big|^2\cdots$ (イ)

(ア) $\; + \;$ (イ)より　 $\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC} } +\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD} } -\big|\overrightarrow{\mathrm{AB} }\big|^2 =0 \cdots$ (ウ)

　　 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ} } =\overrightarrow{\mathrm{AQ} }-\overrightarrow{\mathrm{AP} }=\frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AC} } +\overrightarrow{\mathrm{AD} } -\overrightarrow{\mathrm{AB} }\Bigr) \;$ だから

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ} }=\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AC} } +\overrightarrow{\mathrm{AD} } -\overrightarrow{\mathrm{AB} }\Bigr) =\frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC} } +\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD} } -|\overrightarrow{\mathrm{AB} }|^2\Bigr)$

(ウ)より　 $\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ} }=0 \;$ だから　 $\mathrm{AB}\perp \mathrm{PQ} \;$

$(2)$ 　(ア) $\; - \;$ (イ)より

　　 $\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC} } -\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD} } +\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} }\big|^2-\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} }\big|^2 =0 \cdots$ (エ)

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ} }=\Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AD} }-\overrightarrow{\mathrm{AC} } \Bigr) \cdot \frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AC} } +\overrightarrow{\mathrm{AD} } -\overrightarrow{\mathrm{AB} }\Bigr)=\frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC} } -\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD} } +\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} }\big|^2-\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} }\big|^2 \Bigr)$

(エ)より　 $\overrightarrow{\mathrm{CD} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ} }=0 \;$ だから　 $\mathrm{CD}\perp \mathrm{PQ} \;$

ここで線分 $\; \mathrm{PQ}\;$ に垂直な平面 $\; \beta \;$ で四面体 $\; \mathrm{ABCD}\;$ を切る。その切断面と辺 $\; \mathrm{AC},\; \mathrm{AD},\; \mathrm{BD},\; \mathrm{BC} \;$ との交点をそれぞれ $\; \mathrm{S},\; \mathrm{T},\; \mathrm{U},\; \mathrm{V}\;$ とする。

直線 $\; \mathrm{AB}\;$ と $\; \mathrm{SV}\;$ は面 $\; \mathrm{ABC}\;$ 上にあり、いずれも線分 $\; \mathrm{PQ}\;$ と垂直だから　 $\mathrm{AB}/\!\!/ \mathrm{SV}$ 　同様にして　 $\mathrm{AB}/\!\!/ \mathrm{TU}$ 　よって　 $\mathrm{SV}/\!\!/ \mathrm{TU}$

直線 $\; \mathrm{CD}\;$ と $\; \mathrm{ST}\;$ は面 $\; \mathrm{ACD}\;$ 上にあり、いずれも線分 $\; \mathrm{PQ}\;$ と垂直だから　 $\mathrm{CD}/\!\!/ \mathrm{ST}$ 　同様にして　 $\mathrm{CD}/\!\!/ \mathrm{VU}$ 　よって　 $\mathrm{ST}/\!\!/ \mathrm{VU}$

したがって、四角形 $\; \mathrm{STUV}\;$ は平行四辺形である。

また、 $\bigtriangleup \mathrm{ABC}\;$ で、 $\mathrm{AB}/\!\!/ \mathrm{SV}\;$ だから　 $\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=\mathrm{BV}:\mathrm{VC}=k:(1-k),\; 0\leqq k\leqq 1\;$ とできる。　 $\bigtriangleup \mathrm{ACD}\;$ も同様にして、 $\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=\mathrm{AT}:\mathrm{TD}=k:(1-k),\; 0\leqq k\leqq 1\;$ とできる。

平行四辺形 $\; \mathrm{STU}V\;$ の対角線の交点を $\; \mathrm{R}\;$ とすると、

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AR} } =\frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AT} }+\overrightarrow{\mathrm{AV} }\Bigr)=\frac{1}{2} \Bigl\{k\overrightarrow{\mathrm{AD} } +k\overrightarrow{\mathrm{AC} } +(1-k)\overrightarrow{\mathrm{AB} }\Bigr\}=k\cdot \frac{\overrightarrow{\mathrm{AC} }+\overrightarrow{\mathrm{AD} }}{2} +(1-k)\cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB} }$