数学(理系)の第1問（2018東京大学入試）

　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　関数

　　　　　　　　　 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sin x} +\cos x \qquad (0 \lt x \lt \pi)\;$

の増減表をつくり、 $x \rightarrow +0,\; \; x \rightarrow \pi-0\;$ のときの極限を調べよ。

解答

$\displaystyle f'(x)=\frac{\sin x -x\cos x}{\sin^2 x} -\sin x$

$\displaystyle \qquad \; \; =\frac{\sin x (1-\sin^2 x)-x\cos x}{\sin^2 x}$

$\displaystyle \qquad \; \; =\frac{\cos x (\sin x\cos x -x)}{\sin^2 x}$

$\displaystyle \qquad \; \; =\frac{\cos x (\sin 2x -2x)}{2\sin^2 x}$

ここで、 $0 \lt x \lt \pi\;$ のとき、 $\sin 2x \lt 2x\;$ だから

$f'(x)=0\;$ となるのは、 $\cos x=0\;$ より $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\;$

$\; \; \; x$	$0$	$\cdots$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\pi$
$f'(x)$		$\; -$	$\; 0$	$\; +$
$f(x)$		$\searrow$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\nearrow$

$\displaystyle \lim_{x \to +0}\left( \frac{x}{\sin x} +\cos x \right) =\lim_{x \to +0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} +\lim_{x \to +0} \cos x =1+1=2$

$x=\pi-\theta \;$ とおくと、 $x \rightarrow \pi-0 \;$ のとき　 $\theta \rightarrow +0 \;$ だから

$\displaystyle \lim_{x \to \pi-0}\left( \frac{x}{\sin x} +\cos x \right) =\lim_{\theta \to +0} \left\{ \frac{\pi-\theta }{\sin (\pi-\theta )} +\cos (\pi-\theta ) \right\}$

$\displaystyle =\lim_{\theta \to +0} \left\{ \frac{\pi-\theta }{\sin \theta } -\cos \theta \right\}$

$\displaystyle =\lim_{\theta \to +0} \frac{\pi}{\sin \theta }-\lim_{\theta \to +0} \frac{\theta}{\sin \theta } -\lim_{\theta \to +0} \cos \theta =+\infty$