高校数学の解き方

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数学(理系)の第6問（2019京都大学入試）

京都大学入試

　　　　　　　　　　第　6　問

　i \; は虚数単位とする。(\; 1+i\; )\; ^n+(\; 1-i\; )\; ^n \gt 10^{10} \; をみたす最小の正の整数\; n \; を求めよ。

　

解答

\displaystyle (\; 1+i\; )\; ^n+(\; 1-i\; )\; ^n = \left\{ \sqrt{2}\; \left( \; \cos \frac{\pi}{4} +i \sin \frac{\pi}{4} \; \right) \right\} ^n +\left\{ \sqrt{2} \; \left( \; \cos \frac{\pi}{4} -i \sin \frac{\pi}{4} \; \right) \right\} ^n \;

　　　　　　　　　　　\displaystyle = 2^{\frac{n}{2}} \left( \; \cos \frac{n\pi}{4} +i \sin \frac{n\pi}{4} \; \right) + 2^{\frac{n}{2}} \left( \; \cos \frac{n\pi}{4} -i \sin \frac{n\pi}{4} \; \right) \;

　　　　　　　　　　　\displaystyle = 2^{\frac{n}{2}+1} \cos \frac{n\pi}{4} \;

よって、\displaystyle 2^{\frac{n}{2}+1} \cos \frac{n\pi}{4} \gt 10^{10} \; \cdots \; (A) \;

m \; を整数、k=0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6,\; 7 \; として、n=8m+k \; とする。

\displaystyle \cos \frac{n\pi}{4}= \cos \frac{(8m+k)\pi}{4}= \cos \left( \; 2m\pi +\frac{k\pi}{4} \; \right)= \cos \frac{k\pi}{4} \;

だから、(A) \; は　\displaystyle 2^{4m+\frac{k}{2}+1} \cos \frac{k\pi}{4} \gt 10^{10} \; \cdots \; (A') \; となる。

ここで、\displaystyle 2^{4m+\frac{k}{2}+1} \gt 0 \; で、k=2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6\; のとき、\displaystyle \cos \frac{k\pi}{4} \leqq 0 \; となり、(A') \; をみたさない。

k=0 \; のとき、\displaystyle \cos \frac{k\pi}{4} =1 \; だから、(A') \; は　\displaystyle 2^{4m+1} \gt 10^{10} \;

両辺の常用対数をとると、\log_{10} 2^{4m+1} \gt \log_{10} 10^{10} \;

よって、\displaystyle m \gt \frac{5}{2\log_{10} 2}-\frac{1}{4}=8.05 \cdots \; より、最小は\; m=9 \; だから、\; n=72 \;

k=1 \; のとき、\displaystyle \cos \frac{k\pi}{4} =\frac{1}{\sqrt{2}} \; だから、(A') \; は　\displaystyle 2^{4m+\frac{3}{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \gt 10^{10} \; から、\displaystyle 2^{4m+1} \gt 10^{10} \;

両辺の常用対数をとると、\log_{10} 2^{4m+1} \gt \log_{10} 10^{10} \;

よって、\displaystyle m \gt \frac{5}{2\log_{10} 2}-\frac{1}{4}=8.05 \cdots \; より、最小は\; m=9 \; だから、\; n=73 \;

k=7 \; のとき、\displaystyle \cos \frac{k\pi}{4} =\frac{1}{\sqrt{2}} \; だから、(A') \; は　\displaystyle 2^{4m+\frac{9}{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \gt 10^{10} \; から、\displaystyle 2^{4m+4} \gt 10^{10} \;

両辺の常用対数をとると、\log_{10} 2^{4m+4} \gt \log_{10} 10^{10} \;

よって、\displaystyle m \gt \frac{5}{2\log_{10} 2}-1=7.3 \cdots \; より、最小は\; m=8 \; だから、\; n=71 \;

以上より、与式をみたす最小の正の整数は\; n=71 \;

 

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