問題
第 問
とし、数列を初項、公比の等比数列とする。また、数列は次のように定義される。
次の問いに答えよ。
をおよびを用いて表せ。
一般項が
である数列は等差数列であることを証明せよ。
で与えられた数列の初項から第項までの平均をとする。すなわち、
とする。このとき、一般項が
である数列は等比数列であることを証明せよ。
解答
数列は、初項、公比の等比数列だから、
また、である。よって、
辺々相掛け合わせると、
ゆえに、
だから
(定数)
また、
よって、数列は、初項、公差の等差数列である。 (証明終)
より
よって、
だから
また、
したがって、数列は、初項、公比の等比数列である。 (証明終)
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