問題
第 問
原点をとする座標平面上において、点
および
軸上の正の部分を動く点
があり、
は鈍角ではないとする。
の垂心を
、頂点
から辺
に下ろした垂線と辺
との交点を
、頂点
から辺
に下ろした垂線と辺
との交点を
とする。次の問いに答えよ。ただし、三角形の各頂点から対辺、またはその延長に下ろした
本の垂心は
点で交わることが知られている。その交点のことを、三角形の垂心という。
が直角となる
の値を求めよ。
点
の座標を
を用いて表せ。
以下では、が
で求めた値よりも大きい値をとるとする。
点
が
の内心であることを証明せよ。ただし、
組の対角の和が
である四角形は円に内接することを、証明なしに利用してもよい。
の内接円の半径を
の関数
として表せ。
で求めた関数
は最大値をもつことを示せ。ただし、最大値を与える
の値を求める必要はない。
解答
だから、直線
の式は、
（ア）
直線の式は、
（イ）
が直角となるとき、
よって、より
だから、直線
の傾きを
とすると、
だから、（ア）より
よって、だから、直線
の式は、
（イ）
また、だから、直線
と
の交点は原点
である。
よって、直線の式は、
（ウ）
（イ）と（ウ）の交点の座標は、
だから、
は鋭角である。よって、点
、
はそれぞれ辺
、
上にある。
四角形において
組の対角の和が
だから、四角形
は円に内接にする。よって、
（エ）
と
で、
残りの角も等しいから、（オ）
四角形も同様にして、
（カ）
（エ）、（オ）、（カ）より、だから、直線
は
の二等分線である。
同様にして、だから、直線
は
の二等分線である。
以上より、直線と
の交点
は
の内心である
直線
と直線
の交点
の座標は、（ア）と（イ）より
よって、直線の式は、
より
点と直線
の距離が求める内接円の半径だから、
より
ゆえに、
関数は、
のときのみ不連続だから、
で連続である。
また、のとき、
だから
のとき、
だから
さらに、で、
したがって、関数は最大値をもつ。
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