数学(理系)の第1問(1)（2020同志社大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　次の $\; [　　　] \;$ に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の付いた $\; [　　　] \;$ の中に記入せよ。

$(1) \; \; n \;$ は $\; 3 \;$ 以上の自然数とし、さいころを $\; n \;$ 回続けて投げる試行を考える。 $\; n \;$ 回目に $\; 3 \;$ の目が出て、 $\; 3 \;$ の目が出た回数がちょうど $\; 3 \;$ 回である確率は $\; [　ア　] \;$ である。次に、 $\; n \;$ 回目までに出た $\; n \;$ 個の目の積が偶数である確率は $\; [　イ　] \;$ であり、 $\; 4 \;$ の倍数である確率は $\; [　ウ　] \;$ である。また、 $\; n \;$ 回目までに出た目の最大値が $\; 4 \;$ である確率は $\; [　エ　] \;$ である。最後に、 $\; n \;$ 回目までに出た目の最大値と最小値の差が $\; 3 \;$ となる確率は $\; [　オ　] \;$ である。

解答

$(1) \; \;$ ア・・・初めの $\; (n-1) \;$ 回で、 $\; 3 \;$ の目が $\; 2 \;$ 回、他の目が $\; (n-3) \;$ 回出て、 $\; n \;$ 回目に $\; 3 \;$ の目が出る確率だから、

　　　 $\displaystyle \left\{ {}_{n-1} C _2 \times \left( \frac{1}{6} \right) ^2 \times \left( \frac{5}{6} \right) ^{n-3} \right\} \times \frac{1}{6} = \frac{(n-1)(n-2)}{250} \times \left( \frac{5}{6} \right) ^n \;$

イ・・・その余事象は、すべて奇数の目が出ることだから、

　　　 $\displaystyle 1- \left( \frac{3}{6} \right) ^n =1- \left( \frac{1}{2} \right) ^n \;$

ウ・・・その余事象は、すべて奇数の目が出る、または $\; 2 \;$ か $\; 6 \;$ の目が $\; 1 \;$ 回出て、他は奇数の目が出ることだから、

　　　 $\displaystyle 1- \left\{ \left( \frac{3}{6} \right) ^n + {}_n C _1 \times \frac{2}{6} \times \left( \frac{3}{6} \right) ^{n-1} \right\} = 1- \frac{2n+3}{3} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^n \;$

エ・・・すべて $\; 4 \;$ 以下の目が出る事象のうち、すべて $\; 3 \;$ 以下の目が出る事象でないものだから、

　　　 $\displaystyle \left( \frac{4}{6} \right) ^n -\left( \frac{3}{6} \right) ^n = \left( \frac{2}{3} \right) ^n -\left( \frac{1}{2} \right) ^n \;$

オ・・・最大値 $\; 4 \;$ 、最小値 $\; 1 \;$ となる場合はこれになる。事象 $\; \mathrm{A} \;$ をすべて $\; 1 \;$ 以上 $\; 4 \;$ 以下の目が出る事象、事象 $\; \mathrm{B} \;$ をすべて $\; 2 \;$ 以上 $\; 4 \;$ 以下の目が出る事象、事象 $\; \mathrm{C} \;$ をすべて $\; 1 \;$ 以上 $\; 3 \;$ 以下の目が出る事象とすると、事象 $\; \mathrm{B} \cap \mathrm{C} \;$ はすべて $\; 2 \;$ 以上 $\; 3 \;$ 以下の目が出る事象となる。よって、求める確率は

　　　 $\displaystyle P( \mathrm{A} )- \{ P( \mathrm{B} )+P( \mathrm{C} )- P( \mathrm{B} \cap \mathrm{C} ) \}$

　　　 $\displaystyle =\left( \frac{4}{6} \right) ^n - \left\{ \left( \frac{3}{6} \right) ^n + \left( \frac{3}{6} \right) ^n - \left( \frac{2}{6} \right) ^n \right\}= \left( \frac{2}{3} \right) ^n - 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^n +\left( \frac{1}{3} \right) ^n \;$

また、最大値 $\; 5 \;$ 、最小値 $\; 2 \;$ となる場合と最大値 $\; 6 \;$ 、最小値 $\; 3 \;$ となる場合もあり、同様にできるから、

　　　 $\displaystyle \left\{ \left( \frac{2}{3} \right) ^n - 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^n +\left( \frac{1}{3} \right) ^n \right\} \times 3 = 3 \times \left( \frac{2}{3} \right) ^n - 6 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^n + 3 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^n\;$