数学(理系)の第1問(2)（2020同志社大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　次の $\; [　　　] \;$ に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の付いた $\; [　　　] \;$ の中に記入せよ。

$(2) \; \; i \;$ を虚数単位とし、 $\displaystyle \alpha = \frac{2 \sqrt{2}}{3- \sqrt{3}i} \;$ とおく。 $\; \alpha \;$ の偏角 $\; \theta \;$ を $\; 0 \leqq \theta \lt 2 \pi \;$ の範囲で求めると、 $\; \theta = [　カ　] \;$ である。この $\; \alpha \;$ を用いて、複素数 $\; z_n \;$ を $\; z_1= \sqrt{2} +(2 \sqrt{3} -\sqrt{6} )i,\; \; z_{n+1} = \alpha z_n +z_1 \; \; (n=1,\; 2,\; 3, \; \cdots \; ) \;$ により定める。この $\; z_{n+1} \;$ と $\; z_n \;$ の間の関係式を $\; z_{n+1} - \gamma = \alpha ( z_n - \gamma ) \;$ と変形する。ここで、 $\displaystyle \gamma = \frac{z_1}{1- \alpha} \;$ であり、 $\; \gamma \;$ の虚部の値は $\; [　キ　] \;$ である。また、これを用いて $\; z_n \;$ を $\; n \;$ の式で表すと $\; z_n = \alpha ^{n-1} (z_1 - \gamma ) + \gamma \;$ となる。次に、複素数平面上の点 $\; \mathrm{C}( \gamma ) ,\; \mathrm{P}_n ( z_n ) ,\; \mathrm{P}_{n+1} ( z_{n+1} ) \;$ から定まる三角形 $\; \mathrm{C} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \;$ の面積を $\; S_n \;$ とする。 $\; S_1 = [　ク　] \;$ であり、 $\; S_n \;$ を $\; n \;$ を用いて表すと $\; S_n = [　ケ　] \;$ である。さらに、 $\displaystyle \; \sum_{k=1}^{\infty} (k+1)S_k \;$ の値は $\; [　コ　] \;$ である。

解答

$(2) \; \;$ カ・・・ $\; (3- \sqrt{3} i)(\overline{3- \sqrt{3} i} )=3^2+( \sqrt{3} )^2=12, \;$

$\; (2 \sqrt{2} )(\overline{3- \sqrt{3} i} )=(2 \sqrt{2} )(3+ \sqrt{3} i )=6 \sqrt{2} +2 \sqrt{6} i \;$ だから

$\displaystyle \alpha = \frac{2 \sqrt{2}}{3- \sqrt{3}i} = \frac{6 \sqrt{2} +2 \sqrt{6} i}{12} = \frac{ \sqrt{2}}{2} + \frac{ \sqrt{6}}{6} i \; \; \cdots ( \ast ) \;$

$\displaystyle | \alpha | = \sqrt{ \left( \frac{ \sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{ \sqrt{6}}{6} \right)^2 } = \frac{ \sqrt{6}}{3} \; \; \cdots ( \ast \ast ) \;$

よって、 $\; 0 \leqq \theta \lt 2 \pi \;$ のとき、 $\alpha = | \alpha | ( \cos \theta +i \sin \theta ) \;$ の形で表すと、

$\displaystyle \alpha = \frac{ \sqrt{6}}{3} \left( \frac{ \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right)= \frac{ \sqrt{6}}{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} +i \sin \frac{\pi}{6} \right) \; \;$ より、 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6} \;$

キ・・・ $\; ( \ast ) \;$ より、 $\displaystyle 1- \alpha = \left( 1- \frac{ \sqrt{2}}{2} \right) - \frac{ \sqrt{6}}{6} i \; \; \cdots ( \ast ) \; \;$ だから、

$\displaystyle (1- \alpha )( \overline{1- \alpha } )= \left( 1- \frac{ \sqrt{2}}{2} \right) ^2 + \left( \frac{ \sqrt{6}}{6} \right) ^2 = \frac{5-3 \sqrt{2}}{3} \; \;$

$\displaystyle z_1 ( \overline{1- \alpha } )= \{ \sqrt{2} +(2 \sqrt{3} -\sqrt{6} )i \} \left\{ \left( 1- \frac{ \sqrt{2}}{2} \right) + \frac{ \sqrt{6}}{6} i \right\} = \frac{2\sqrt{3}(5-3 \sqrt{2} )}{3} i \; \;$

だから、 $\displaystyle \gamma = \frac{z_1}{1- \alpha} = \frac{z_1 ( \overline{1- \alpha } )}{(1- \alpha )( \overline{1- \alpha } )} = \cfrac{ \cfrac{2\sqrt{3}(5-3 \sqrt{2} )}{3} i}{ \cfrac{5-3 \sqrt{2}}{3}} =2\sqrt{3} i \; \;$

より、 $\; \gamma \;$ の虚部は $\; \; 2 \sqrt{3} \;$

ク・・・ $z_1 - \gamma = \sqrt{2} +(2 \sqrt{3} -\sqrt{6} )i - 2\sqrt{3} i = \sqrt{2} -\sqrt{6} i, \;$

$\; | z_1 - \gamma | = \sqrt{ ( \sqrt{2} )^2 + ( \sqrt{6} )^2 } = 2\sqrt{2} \;$

また、 $\; | z_2 - \gamma | = | \alpha (z_1 - \gamma ) | = | \alpha || (z_1 - \gamma ) |, \;$

$\displaystyle \; \angle \mathrm{P}_1 \mathrm{C} \mathrm{P}_2 = arg \left( \frac{z_2 - \gamma }{z_1 - \gamma } \right) = arg \; \alpha = \frac{ \pi }{6} \; \;$ だから、 $\; ( \ast \ast ) \;$ より

　　　 $\displaystyle S_1 = \frac{1}{2} | z_1 - \gamma || z_2 - \gamma | \sin ( \angle \mathrm{P}_1 \mathrm{C} \mathrm{P}_2 ) \;$

　　　　 $\displaystyle = \frac{1}{2} | \alpha || z_1 - \gamma |^2 \sin \frac{\pi}{6} \;$

　　　　 $\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot (2 \sqrt{2} )^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \sqrt{6} \;$

ケ・・・ $n \geqq 2 \;$ のとき、 $\; | z_n - \gamma | = | \alpha ^{n-1} (z_1 - \gamma ) | = | \alpha |^{n-1} | (z_1 - \gamma ) |, \;$

$\displaystyle \; \angle \mathrm{P}_n \mathrm{C} \mathrm{P}_{n+1} = arg \left( \frac{z_{n+1} - \gamma }{z_n - \gamma } \right) = arg \; \alpha = \frac{ \pi }{6} \; \;$ だから、

　　　 $\displaystyle S_n = \frac{1}{2} | z_n - \gamma || z_{n+1} - \gamma | \sin ( \angle \mathrm{P}_n \mathrm{C} \mathrm{P}_{n+1} ) \;$

　　　　 $\displaystyle = \frac{1}{2} | \alpha |^{n-1} | z_1 - \gamma || \alpha |^n | z_1 - \gamma | \sin \frac{\pi}{6} \;$

　　　　 $\displaystyle = \frac{1}{2} | \alpha |^{2n-1} | z_1 - \gamma |^2 \sin \frac{\pi}{6} \;$

　　　　 $\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right) ^{2n-1} \cdot (2 \sqrt{2} )^2 \cdot \frac{1}{2} = \left( \frac{2}{3} \right) ^n \cdot \sqrt{6} \;$

クより、この式は $\; n=1 \;$ のときも成り立つ。

コ・・・ $\displaystyle \; \sum_{k=1}^n (k+1)S_k = \sqrt{6} \sum_{k=1}^n (k+1) \left( \frac{2}{3} \right) ^k = \sqrt{6} T_n \;$ とおく。

　　 $\displaystyle \; \; T_n =2 \cdot \frac{2}{3} +3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right) ^2 +4 \cdot \left( \frac{2}{3} \right) ^3 + \cdots +(n+1) \left( \frac{2}{3} \right) ^n \;$

$\displaystyle -) \; \frac{2}{3} T_n = \qquad \; +2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right) ^2 +3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right) ^3 + \cdots +\; \; \; n \left( \frac{2}{3} \right) ^n \; \; \; +(n+1) \left( \frac{2}{3} \right) ^{n+1} \;$

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　 $\displaystyle \; \; \frac{1}{3} T_n =2 \cdot \frac{2}{3} + \; \; \; \; \left( \frac{2}{3} \right) ^2 + \; \; \; \; \left( \frac{2}{3} \right) ^3 + \cdots + \; \; \; \; \left( \frac{2}{3} \right) ^n \; \; \; \; -(n+1) \left( \frac{2}{3} \right) ^{n+1} \;$

　　　 $\displaystyle \; \; \; = \frac{2}{3} + \cfrac{ \cfrac{2}{3} \left\{ 1- \left( \cfrac{2}{3} \right) ^n \right\}}{1- \cfrac{2}{3} } -(n+1) \left( \frac{2}{3} \right) ^{n+1} \;$

　　 $\displaystyle \; T_n =8-(2n+8) \left( \frac{2}{3} \right) ^n \;$

二項定理より、 $\displaystyle \; \left( \frac{3}{2} \right) ^n = \left( 1+ \frac{1}{2} \right) ^n =1+ \frac{1}{2} n + \frac{1}{8} n(n-1)+ \dots \gt \frac{1}{8} n(n-1) \;$

だから、 $\displaystyle \; 0 \lt (2n+8) \left( \frac{2}{3} \right) ^n =\cfrac {2n+8}{ \left( \cfrac{3}{2} \right) ^n } \lt \cfrac {2n+8}{ \cfrac{1}{8} n(n-1) } \rightarrow 0 \; \; (n \rightarrow \infty ) \;$

よって、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (2n+8) \left( \frac{2}{3} \right) ^n =0 \;$

したがって、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n =8 \;$ より、 $\displaystyle \; \sum_{k=1}^{\infty} (k+1)S_k = \lim_{n \to \infty} \sqrt{6} T_n =8 \sqrt{6} \;$