高校数学の解き方

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数学(理系)の第4問（2020東京大学入試）

東京大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　4　問

　n, \; k \;を\; 1 \leqq k \leqq n \; を満たす整数とする。\; n \; 個の整数

　　　2^m \; \; (m=0, \; 1, \; 2, \; \cdots \; , \; n-1)

から異なる\; k \; 個を選んでそれらの積をとる。\; k \; 個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる\; {}_n C _k \; 個の整数の和を\; a _{n,k} \; とおく。例えば、

　　　a _{4,3}=2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 + 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^3 + 2^0 \cdot 2^2 \cdot 2^3 + 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 =120

である。

(1) \; \; 2 \; 以上の整数\; n \; に対し、\; a _{n,2} \; を求めよ。

(2) \; \; 1 \; 以上の整数\; n \; に対し、\; x \; についての整式

　　　f_n(x)=1+a _{n,1}x+a _{n,2}x^2+ \; \cdots \; +a _{n,n}x^n

を考える。\displaystyle \; \; \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} \; \; と\displaystyle \; \; \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)} \; \; を\; x \; についての整式として表せ。

\displaystyle (3) \; \; \frac{a _{n+1,k+1}}{a _{n,k}} \; を\; n, \; \; k \; で表せ。

　

解答

　　　集合\; D_n= \{ 2^0, \; 2^1, \; 2^2, \; \cdots , \; 2^{n-1} \} \;

とする。また、題意のようにして\; a _{n,k} \; を作ることを「操作\; P \; 」とする。つまり、「\; D_n \;から\; k \; 個を選んで操作\; P \; をすると、\; a _{n,k} \; ができる。」と言うことができる。

　　　集合\; E_n= \{ 2^1, \; 2^2, \; 2^3, \; \cdots , \; 2^n \} \;

とすると、\; E_n \; は\; D_n \; の各要素を\; 2 \; 倍してできているから、\; E_n \;から\; k \; 個を選んで操作\; P \; をすると、\; 2^k a _{n,k} \; となる。

　

(1) \; \; n=2 \; のとき、\; D_2 \;から\; 2 \; 個を選んで操作\; P \; をすると　\; a _{2,2} \; ができるから、

　　　\; a _{2,2} =2^0 \cdot 2^1 =2 \;

n \geqq 3 \; のとき、\; D_{n-1} \;から\; 2 \; 個を選んで操作\; P \; をすると　\; a _{n-1,2} \; 、\; D_{n-1} \;から\; 1 \; 個を選んで\; 2^{n-1} \; とかけ合わせて操作\; P \; をすると　\; 2^{n-1}a _{n-1,1} \; となるから、

　　　\; a _{n,2} =a _{n-1,2}+2^{n-1}a _{n-1,1} \;

よって、\; a _{n,2} -a _{n-1,2}=2^{n-1}a _{n-1,1} \;

　　　　　　\displaystyle =2^{n-1}(2^0+2^1+2^2 \; \cdots \; +2^{n-2})=2^{n-1} \cdot \frac{2^{n-1}-1}{2-1}=2^{2(n-1)}-2^{n-1} \;

これは数列\; \{ a _{n,2} \} \; の階差を表すから、

　　　\displaystyle a _{n,2} =a _{2,2}+ \sum_{j=3}^n \{ 2^{2(j-1)}-2^{j-1} \} \;

　　　　　\displaystyle =2+ \frac{2^4 \{ 2^{2(n-2)}-1 \} }{2^2-1}+\frac{2^2 (2^{n-2}-1)}{2-1} \;

　　　　　\displaystyle =\frac{1}{3} \; (2^n-1)(2^n-2) \;

これは\; n=2 \; のときも成り立つ。

　

(2) \; \; f_{n+1}(x) \; は\; x \; についての\; (n+1) \; 次の整式、\; f_n(x) \; は\; x \; についての\; n \; 次の整式で、定数項はどちらも\; 1 \; だから、\; x \; についての\; n \; 次の整式\; (1+bx) \; を用いて、

　　　f_{n+1}(x)=(1+bx)f_n(x)

と表せる。つまり、

1+a _{n+1,1}x+a _{n+1,2}x^2+ \; \cdots \; +a _{n+1,n+1}x^{n+1}

　　　=(1+bx)(1+a _{n,1}x+a _{n,2}x^2+ \; \cdots \; +a _{n,n}x^n)

x^{k+1} \; の係数を比較する。

k=0 \; のとき、\; a _{n+1,1} =a _{n,1}+b

a _{n+1,1} \; は\; D_{n+1} \;から\; 1 \; 個を選んで加えたもので、a _{n,1} \; は\; D_n \;から\; 1 \; 個を選んで加えたものだから、\; b=2^n

\; 1 \leqq k \leqq n-1 \; のとき、\; a _{n+1,k+1} =a _{n,k+1}+ba _{n,k} \; \; \cdots \; （ア）

a _{n+1,k+1} \; は\; D_{n+1} \;から\; (k+1) \; 個を選んで操作\; P \; をしたもの。

a _{n,k+1} \; は\; D_n \;から\; (k+1) \; 個を選んで操作\; P \; をしたもので、\; 2^n \; が使われていないから、

\; D_n \;から\; k \; 個を選んで\; 2^n \; をかけ、操作\; P \; をすると\; ba _{n,k} \; とならなければならない。よって、\; b=2^n

k=n \; のとき、\; a _{n+1,n+1} =ba _{n,n}　よって、\; b=2^n

以上より、f_{n+1}(x)=(1+2^n x)f_n(x)

ゆえに、\displaystyle \; \; \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} =1+2^n x

　

同様にして、

　　　f_{n+1}(x)=(1+cx)f_n(2x)

と表せる。つまり、

1+a _{n+1,1}x+a _{n+1,2}x^2+ \; \cdots \; +a _{n+1,n+1}x^{n+1}

　　　=(1+cx)(1+2a _{n,1}x+2^2a _{n,2}x^2+ \; \cdots \; +2^na _{n,n}x^n)

x^{k+1} \; の係数を比較する。

k=0 \; のとき、\; a _{n+1,1} =2a _{n,1}+c

2a _{n,1} \; は\; E_n \;から\; 1 \; 個を選んで加えたもので、\; 2^0 \; が含まれていない。よって、\; c=2^0=1

\; 1 \leqq k \leqq n-1 \; のとき、\; a _{n+1,k+1} =2^{k+1}a _{n,k+1}+c \cdot 2^ka _{n,k} \; \; \cdots \; （イ）

2^{k+1}a _{n,k+1} \; は\; E_n \;から\; (k+1) \; 個を選んで操作\; P \; をしたもので、\; 2^0 \; が含まれていない。

c \cdot 2^ka _{n,k} \; は\; E_n \;から\; k \; 個を選んで\; 2^0 \; をかけて\; (k+1) \; 個にして、操作\; P \; をしたものになる。よって、\; c=2^0=1

k=n \; のとき、\; a _{n+1,n+1} =c \cdot 2^na _{n,n}

\; E_n \;から\; n \; 個すべてを選んだものに\; 2^0 \; をかけて\; (k+1) \; 個になる。よって、\; c=2^0=1

以上より、f_{n+1}(x)=(1+x)f_n(2x)

ゆえに、\displaystyle \; \; \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)} =1+x

　

(3) \; \; 1 \leqq k \leqq n-1 \; のとき、（ア）に\; b=2^n \; 、（イ）に\; c=1 \; を代入して、

　　　\; a _{n+1,k+1} =a _{n,k+1}+2^na _{n,k} \; \; \cdots \; （ウ）

　　　\; a _{n+1,k+1} =2^{k+1}a _{n,k+1}+2^ka _{n,k} \; \; \cdots \; （エ）

（ウ） \; \times 2^{k+1}- \; （エ）より

　　　\; (2^{k+1}-1)a _{n+1,k+1} =2^k(2^{n+1}-1)a _{n,k}

両辺\; 0 \; ではないので、

　　　\displaystyle \frac{a _{n+1,k+1}}{a _{n,k}}=\frac{2^k(2^{n+1}-1)}{2^{k+1}-1}

これは\; k=n \; のときも成り立つ。

　

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