数学(理系)の第1問（2022京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　 $5.4 \lt \log_4 2022 \lt 5.5 \;$ であることを示せ。ただし、 $0.301 \lt \log_{10} 2 \lt 0.3011 \;$ であることは用いてよい。

解答

$\displaystyle \; \log_4 2022 = \frac{\log_{10} 2022}{\log_{10} 4} = \frac{\log_{10} 1011 +\log_{10} 2}{2 \log_{10} 2} \;$

だから、証明すべき不等式 $\; 5.4 \lt \log_4 2022 \lt 5.5 \;$ の各辺に $\; 2 \log_{10} 2 \gt 0 \;$ をかけた式

　　　　　 $10.8 \log_{10} 2 \lt \log_{10} 2022 \lt 11 \log_{10} 2 \;$

の各辺から $\; \log_{10} 2 \;$ をひいた式

　　　　　 $9.8 \log_{10} 2 \lt \log_{10} 1011 \lt 10 \log_{10} 2 \;$ ・・・（※）

を証明してもよい。以下、これを証明すると $\; \log_{10} 2 \lt 0.3011 \;$ だから

　　　　　 $\; 9.8 \log_{10} 2 \lt 9.8 \times 0.3011=2.95078 \lt 3$

　　　　　 $\; =3 \log_{10} 10 = \log_{10} 10^3 = \log_{10} 1000 \lt \log_{10} 1011 \lt \log_{10} 1024$

　　　　　 $\; =\log_{10} 2^{10} =10 \log_{10} 2 \;$

よって、（※）が証明されたから　 $5.4 \lt \log_4 2022 \lt 5.5 \;$ 　は示された。

ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

高校数学の解き方