数学(理系)の第2問（2020同志社大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $2$ 　問

　 $\; xyz \;$ 空間に $\; 4 \;$ 点 $\; \mathrm{A}(0,\; 0,\; 1),\; \; \mathrm{B}(1,\; 0,\; 0),\; \; \mathrm{C}(0,\; 2,\; 0),\; \; \mathrm{D}(2,\; 2,\; 0) \;$ をとる。また、点 $\; \mathrm{P} \;$ は線分 $\; \mathrm{BC} \;$ 上を動き、 $\; \mathrm{BP} : \mathrm{PC} =t:(1-t) \; \; (0 \lt t \lt 1) \;$ とする。このとき、次の問いに答えよ。

$(1) \; \;$ 点 $\; \mathrm{P} \;$ の座標を $\; t \;$ を用いて表せ。

$(2) \; \;$ 点 $\; \mathrm{A} \;$ から線分 $\; \mathrm{BC} \;$ に下ろした垂線を $\; \mathrm{AR} \;$ とする。点 $\; \mathrm{R} \;$ の座標を求めよ。また、線分 $\; \mathrm{AR} \;$ の長さを求めよ。

$(3) \; \;$ 点 $\; \mathrm{E}(p,\; q,\; 0) \;$ は $\; xy \;$ 平面上にあり、 $\; q \lt 0 \;$ とする。さらに、直線 $\; \mathrm{ER} \;$ と直線 $\; \mathrm{BC} \;$ は垂直に交わり、線分 $\; \mathrm{ER} \;$ と線分 $\; \mathrm{AR} \;$ は長さが等しいとする。このとき、点 $\; \mathrm{E} \;$ の座標を求めよ。

$(4) \; \;$ 線分 $\; \mathrm{AP} \;$ と線分 $\; \mathrm{PD} \;$ の長さの和の最小値を求めよ。また、そのときの点 $\; \mathrm{P} \;$ の座標を求めよ。

解答

$(1) \; \; \overrightarrow{OP} =(1-t) \overrightarrow{OB} +t\overrightarrow{OC} =(1-t)(1,\; 0,\; 0)+t(0,\; 2,\; 0)=(1-t,\; 2t,\; 0) \;$
よって、 $\; \mathrm{P}(1-t,\; 2t,\; 0) \;$

$(2) \; \; \overrightarrow{AP} =(1-t,\; 2t,\; -1),\; \; \overrightarrow{BC} =(-1,\; 2,\; 0) \;$ だから、

$AP \perp BC \;$ とすると、 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC} =0 \;$ だから、

　　　 $-(1-t)+4t=0 \; \;$ より $\displaystyle \; t= \frac{1}{5} \;$

よって、このときの点 $\; \mathrm{P} \;$ が点 $\; \mathrm{R} \;$ だから、 $\displaystyle \; \mathrm{R} \left( \frac{4}{5},\; \frac{2}{5},\; 0 \right) \;$

$\displaystyle \; \overrightarrow{AR} = \left( \frac{4}{5},\; \frac{2}{5},\; -1 \right) \;$ だから、 $\displaystyle \; \Big| \overrightarrow{AR} \Big| = \sqrt{ \left( \frac{4}{5} \right) ^2 + \left( \frac{2}{5} \right) ^2+(-1)^2 }= \frac{3\sqrt{5}}{5} \;$

$\displaystyle (3) \; \; \overrightarrow{ER} = \left( \frac{4}{5} -p,\; \frac{2}{5} -q,\; 0 \right) \;$ だから、

$ER \perp BC \;$ で、 $\overrightarrow{ER} \cdot \overrightarrow{BC} =0 \;$ だから、

　　　 $\displaystyle - \left( \frac{4}{5} -p \right)+2 \left( \frac{2}{5} -q \right)=0 \; \;$ より $\displaystyle \; p-2q=0 \; \; \cdots ( \ast ) \;$

$\Big| \overrightarrow{ER} \Big|^2 = \Big| \overrightarrow{AR} \Big|^2 \;$ より

　　　 $\displaystyle \left( \frac{4}{5} -p \right)^2+ \left( \frac{2}{5} -q \right)^2 +0^2 = \left( \frac{3\sqrt{5}}{5} \right)^2 \; \; \cdots ( \ast \ast ) \;$

$\; (\ast )\;$ と $\; (\ast \ast )\;$ を連立して解くと、 $\; q \lt 0 \;$ だから、 $\displaystyle \; p=- \frac{2}{5},\; \; q=- \frac{1}{5} \;$

よって、 $\displaystyle \; \mathrm{E} \left( - \frac{2}{5},\; - \frac{1}{5},\; 0 \right) \;$

$\displaystyle (4) \; \; \overrightarrow{EP} = \left( \frac{7}{5} -t,\; 2t+ \frac{1}{5},\; 0 \right) \;$ だから、

$\displaystyle \Big| \overrightarrow{EP} \Big|^2 = \left( \frac{7}{5} -t \right)^2 + \left( 2t+ \frac{1}{5} \right)^2 +0^2 =5t^2-2t+2 \;$

$\Big| \overrightarrow{AP} \Big|^2 = (1-t)^2 +(2t)^2 +0^2 =5t^2-2t+2 \;$

より、 $\Big| \overrightarrow{EP} \Big|=\Big| \overrightarrow{AP} \Big| \;$ だから、線分 $\; \mathrm{AP} \;$ と線分 $\; \mathrm{PD} \;$ の長さの和は、線分 $\; \mathrm{EP} \;$ と線分 $\; \mathrm{PD} \;$ の長さの和に等しい。この最小値は線分 $\; \mathrm{ED} \;$ となる。よって、

$\displaystyle \; \overrightarrow{ED} = \left( \frac{12}{5},\; \frac{11}{5},\; 0 \right) \;$ だから、 $\displaystyle \; \Big| \overrightarrow{ED} \Big| = \sqrt{ \left( \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{11}{5} \right)^2 +0^2 }= \frac{\sqrt{265}}{5} \;$

このとき、点 $\; \mathrm{P} \;$ が $\; \mathrm{EP} : \mathrm{PD} =s:(1-s) \; \; (0 \lt s \lt 1) \;$ となるとすると、

$\displaystyle \; \overrightarrow{OP} =(1-s) \overrightarrow{OE} +s \overrightarrow{OD} =(1-s) \left( - \frac{2}{5},\; - \frac{1}{5},\; 0 \right) +s(2,\; 2,\; 0)= \left( \frac{12}{5} s- \frac{2}{5},\; \frac{11}{5} s- \frac{1}{5},\; 0 \right) \;$