数学(理系)の第4問（2020同志社大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $4$ 　問

　 $\; c \;$ を実数として、 $\; f(x)= \log x \; \; (x \gt 0), \; \; g(x)=x^2+c \;$ とおく。また、曲線 $\; y=f(x) \;$ 上の点 $\; (p,\; f(p)) \; \; (p \gt 0) \;$ における接線を $\; l_p \;$ とする。このとき、次の問いに答えよ。ただし、必要ならば $\displaystyle \; \; \lim_{t \to +0} t(\log t)^2 =0 \;$ であることを証明なしに用いてよい。

$(1) \; \;$ 関数 $\displaystyle \; y= \log x+ \frac{1}{4x^2} \; \; (x \gt 0) \;$ の増減を調べ、その極値を求めよ。

$(2) \; \;$ 接線 $\; l_p \;$ の方程式を求めよ。

$(3) \; \; c=c_0 \;$ のとき、 $\; l_p \;$ が曲線 $\; y=g(x) \;$ に接するような $\; p \;$ がただ $\; 1 \;$ つ存在するという。このような $\; c_0 \;$ の値を求めよ。

$(4) \; \; c \gt c_0 \;$ のとき、 $\; l_p \;$ が曲線 $\; y=g(x) \;$ に接するような $\; p \;$ が $\; 2 \;$ つ存在する。その $\; 2 \;$ つの $\; p \;$ の値を $\; p_1,\; p_2 \; \; (0 \lt p_1 \lt p_2) \;$ とする。 $\; p=p_1 \;$ に対する接線 $\; l_{p_1} \;$ と曲線 $\; y=f(x) \;$ 、および直線 $\; x=a \; \; (0 \lt a \lt p_1) \;$ で囲まれた部分が $\; x \;$ 軸の周りに $\; 1 \;$ 回転してできる立体の体積を $\; V_1(a) \;$ とするとき、 $\displaystyle \; \alpha = \; \lim_{a \to +0} V_1(a) \;$ を $\; p_1 \;$ を用いて表せ。

$(5) \; \; p=p_2 \;$ に対する接線 $\; l_{p_2} \;$ と曲線 $\; y=f(x) \;$ 、および $\; y \;$ 軸と直線 $\; y=-b \; \; (b \gt 0) \;$ で囲まれた部分が $\; y \;$ 軸の周りに $\; 1 \;$ 回転してできる立体の体積を $\; V_2(b) \;$ とし、 $\displaystyle \; \beta = \; \lim_{b \to \infty } V_2(b) \;$ とおく。この $\; \beta \;$ と $\; (4) \;$ の $\; \alpha \;$ の比の極限値 $\displaystyle \; \; \lim_{c \to c_0+0} \frac{\alpha}{\beta} \;$ を求めよ。

解答

$\displaystyle (1) \; \; y'= \frac{1}{x}- \frac{1}{2x^3} = \frac{(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x-1)}{2x^3} \;$

$y'=0 \;$ となるのは、 $\; x \gt 0 \;$ より $\displaystyle \; x= \frac{1}{\sqrt{2}} \;$

よって、 $\; y \;$ の増減表は次のようになる。

$\; x$	$\; 0$	$\cdots$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$
$y'$		$\; -$	$\; \; 0$	$\; +$
$\; y$		$\searrow$	$極小$	$\nearrow$

$\displaystyle \; h(x)= \log x+ \frac{1}{4x^2} \;$ とする。

$\displaystyle \; h \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \log \frac{1}{\sqrt{2}}+ \cfrac{1}{4 \times \left( \cfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} (1- \log 2) \;$

$\displaystyle \; \; \lim_{x \to \infty} h(x)= \infty \;$

また、 $\displaystyle \; \; \lim_{x \to +0} x(\log x)^2 =0 \;$ だから、

$\displaystyle \; \; \lim_{x \to +0} h(x)= \lim_{x \to +0} \frac {4x^{\frac{3}{2}} \big\{ x(\log x)^2 \big\}^\frac{1}{2}+1}{4x^2} = \infty \;$

よって、直線 $\; x=0 \;$ はこの曲線の漸近線である。（グラフは省略）

したがって、 $\displaystyle \; x= \frac{1}{\sqrt{2}} \;$ で極小値 $\displaystyle \; \frac{1}{2} (1- \log 2) \;$ をとる。極大値はない。

$\displaystyle (2) \; \; f'(x)= \frac{1}{x} \;$ だから、接線 $\; l_p \;$ は

$\displaystyle \; y- \log p= \frac{1}{p} (x-p) \;$ より

$\displaystyle \; y= \frac{1}{p} x+ \log p -1 \;$

$(3) \; \; l_p \;$ と $\; y=g(x) \;$ を連立して解くと、

$\displaystyle \; \frac{1}{p} x+ \log p -1= x^2+c \;$ より

$\displaystyle \; x^2- \frac{1}{p} x+c- \log p +1=0 \;$

この $\; 2 \;$ 次方程式の判別式 $\; D \;$ が $\; 0 \;$ となるから、

$\displaystyle \; \frac{D}{4} = \left( - \frac{1}{2p} \right)^2 -(c- \log p +1)=0 \;$ より

$\displaystyle \; \log p + \frac{1}{4p^2} =c+1 \;$

曲線 $\displaystyle \; y= \log x + \frac{1}{4x^2} \;$ と直線 $\; y=c+1 \;$ の交点が $\; 1 \;$ つに定まるとき、 $\; p \;$ がただ $\; 1 \;$ つ存在する。 $\; (1) \;$ のグラフより、それは $\displaystyle \; p= \frac{1}{\sqrt{2}} \;$ のときである。

よって、そのとき $\; c=c_0 \;$ で、 $\displaystyle \; c_0 +1=\frac{1}{2} (1- \log 2) \;$

ゆえに、 $\displaystyle \; c_0 =- \frac{1}{2} (1+ \log 2) \;$

$\displaystyle (4) \; \; \int (\log x)^2 dx=x(\log x)^2 - \int 2 \log x dx \;$

$\displaystyle =x(\log x)^2 -2x \log x + \int 2dx=x(\log x)^2 -2x \log x +2x+C \; \; (C \;$ は積分定数）

$\displaystyle \; 0 \lt p_1 \lt \frac{1}{\sqrt{2}} \;$ だから

$\displaystyle \; V_1(a)= \pi \int_{a}^{p_1} (\log x)^2 dx- \pi \int_{a}^{p_1} \Bigl( \frac{1}{p_1} x+ \log p_1 -1 \Bigr)^2 dx \;$

　　 $\displaystyle \; = \pi \Bigl[ x(\log x)^2 -2x \log x +2x \Bigr]_{a}^{p_1} - \pi \Bigl[ \frac{p_1}{3} \Bigl( \frac{1}{p_1} x+ \log p_1 -1 \Bigr)^3 \Bigr]_{a}^{p_1} \;$

　　 $\displaystyle \; = \pi \left\{ p_1(\log p_1)^2 -2p_1 \log p_1 +2p_1 -a(\log a)^2 +2a \log a -2a \right\}$

　　　 $\displaystyle - \pi \left\{ \frac{p_1}{3} ( \log p_1 )^3 - \frac{p_1}{3} \Bigl( \frac{a}{p_1} + \log p_1 -1 \Bigr)^3 \right\} \;$

ここで、 $\displaystyle \; \; \lim_{a \to +0} a(\log a)^2 =0, \; \; \lim_{a \to +0} a \log a= \lim_{a \to +0} a^\frac{1}{2} \left\{ a(\log a)^2 \right\} ^\frac{1}{2} =0 \;$ だから、

$\displaystyle \; \alpha = \lim_{a \to +0} V_1(a) \;$

　 $\displaystyle \; = \pi \left\{ p_1(\log p_1)^2 -2p_1 \log p_1 +2p_1 \right\} - \pi \left\{ \frac{p_1}{3} \left( \log p_1 \right)^3 - \frac{p_1}{3} \left( \log p_1 -1 \right)^3 \right\} \;$

　 $\displaystyle \; = \pi p_1 \left( \frac{5}{3} - \log p_1 \right) \;$

$(5) \; \; y= \log x \;$ より $\; x=e^y \;$

また、 $\displaystyle \; y= \frac{1}{p_2} x+ \log p_2 -1 \;$ より $\; x= p_2 (y- \log p_2 +1) \;$

$\displaystyle \; \frac{1}{\sqrt{2}} \lt p_2 \;$ で、 $\; b \to \infty \;$ を考えるため、十分大きな $\; b \;$ のときを考えればよいから、

$\displaystyle \; V_2(b)= \pi \int_{-b}^{\log p_2} \left( e^y \right) ^2 dy- \pi \int_{\log p_2 -1}^{\log p_2} \left\{ p_2 (y- \log p_2 +1) \right\}^2 dy \;$

　　 $\displaystyle \; = \pi \Bigl[ \frac{1}{2} e^{2y} \Bigr]_{-b}^{\log p_2} - \pi \Bigl[ \frac{p_2^{\; 2}}{3} (y- \log p_2 +1)^3 \Bigr]_{\log p_2 -1}^{\log p_2} \;$

　　 $\displaystyle \; = \pi \left( \frac{1}{2} p_2 ^2 - \frac{1}{2e^{2b}} \right) - \pi \times \frac{p_2 ^{\; 2}}{3} \;$

　　 $\displaystyle \; = \frac{1}{6} \pi p_2 ^{\; 2} - \frac{\pi}{2e^{2b}} \;$

$\displaystyle \; \beta = \lim_{b \to \infty} V_2(b) = \frac{1}{6} \pi p_2 ^{\; 2} \;$

よって、 $\displaystyle \; \frac{\alpha}{\beta}= \cfrac{\pi p_1 \left( \cfrac{5}{3} - \log p_1 \right)}{\cfrac{1}{6} \pi p_2 ^{\; 2}}=\frac{p_1 ( 10 - 6 \log p_1 )}{p_2 ^{\; 2}} \;$

$\; c \rightarrow c_0+0 \;$ のとき、 $\displaystyle \; p_1 \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}},\; \; p_2 \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \;$ だから、

$\displaystyle \; \lim_{c \to c_0+0} \frac{\alpha}{\beta}=\cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{2}} \left( 10 - 6 \log \cfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}{\left( \cfrac{1}{\sqrt{2}} \right) ^2} = \sqrt{2} (10+3 \log 2) \;$