高校数学の解き方

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演習問題Bの14（p.45，数学Ⅰ，数研，改訂版）

数学Ⅰ　数研教科書改訂版 数と式

問題

14. \; \; a \; を正の定数として、次の不等式を考える。

　　　　　\; |2x-3| \leqq a \; \; \; \cdots (\ast)

(1) \; 不等式\; (\ast) \; の解を求めよ。

(2) \; \; a=4 \; のとき、不等式\; (\ast) \; を満たす整数 \; x \; は何個存在するか。

(3) \; 不等式\; (\ast) \; を満たす整数 \; x \; がちょうど \; 6 \; 個存在するような \; a \; の値の範囲を求めよ。

　

解答

(1) \; \; a \gt 0 \; だから、\; |2x-3| \leqq a \; から

　　　　　\; -a \leqq 2x-3 \leqq a \;

各辺に \; 3 \; を加えて、\; -a+3 \leqq 2x \leqq a+3 \;

各辺を \; 2 \; で割って、\displaystyle \; \frac{-a+3}{2} \leqq x \leqq \frac{a+3}{2} \;

　

(2) \; \; (1) \; に\; a=4 \; を代入すると、\displaystyle \; - \frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{7}{2} \;

これを満たす整数 \; x \; は、 \; x=0, \; 1,\; 2,\; 3 \; の \; 4 \; 個となる。

　

(3) \; \; (1) \; より、\displaystyle \; \frac{3}{2} -\frac{a}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2} +\frac{a}{2} \;

これを満たす整数 \; x \; は、数直線上で\displaystyle \; \frac{3}{2} \; からの距離が\displaystyle \; \frac{a}{2} \; の範囲にあるから、

（数直線は省略）

数直線上の\displaystyle \; \frac{3}{2} \; の左側に \; 1, \; 0,\; -1 \; の \; 3 \; 個があるためには、

　　　\displaystyle \; -2 \lt \frac{3}{2} -\frac{a}{2} \leqq -1 \; \; \cdots (\ast \ast)

数直線上の\displaystyle \; \frac{3}{2} \; の右側に \; 2, \; 3,\; 4 \; の \; 3 \; 個があるためには、

　　　\displaystyle \; 4 \leqq \frac{3}{2} +\frac{a}{2} \lt 5 \; \; \cdots (\ast \ast \ast)

であればよい。どちらの不等式を解いても同じだから、 \; (\ast \ast \ast)の両辺から\displaystyle \; \frac{3}{2} \; を引いて、\displaystyle \; \frac{5}{2} \leqq \frac{a}{2} \lt \frac{7}{2} \;

両辺に\; 2 \; をかけて、\; 5 \leqq a \lt 7 \;

　

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