高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

問題

$6.$ 　整数 $\; a,\; b,\; c \;$ が $\; a^2+b^2=c^2 \;$ を満たすとき、 $\; a,\; b,\; c \;$ のうち少なくとも $\;1 \;$ つは偶数であることを証明せよ。

解答　背理法で証明する。

整数 $\; a,\; b,\; c \;$ がいずれも偶数ではない、すなわち奇数であると仮定すると、

　　　 $\; a=2l+1, \; \; b=2m+1, \; \; c=2n+1 \; \; (l, \; m, \; n \;$ は整数 $\; ) \;$

と表される。これらを $\; a^2+b^2=c^2 \;$ に代入すると、

　　　 $\; (2l+1)^2+(2m+1)^2=(2n+1)^2 \;$

これを展開して整理すると、

　　　 $\; 2(2l^2+2l+2m^2+2m+1)=2(2n^2+2n)+1 \;$

となる。左辺は偶数であるが、右辺は奇数となり、矛盾している。

したがって、 $\; a,\; b,\; c \;$ のうち少なくとも $\;1 \;$ つは偶数である。（証明終）

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