高校数学の解き方

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数学(理系)の第2問（2020京都大学入試）

京都大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　2　問

　p \; を正の整数とする。\alpha ,\; \beta \; は\; x \; に関する方程式\; x^2-2px-1=0 \; の\; 2 \; つの解で、\; | \alpha | \gt 1 \; であるとする。

(1) \; 　すべての正の整数\; n \; に対し、\alpha ^n+ \beta ^n \; は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。

(2) \; 　極限\; \displaystyle \lim_{n \to \infty} (- \alpha )^n \sin (\alpha ^n \pi ) \; を求めよ。

　

解答

解と係数の関係より、\alpha + \beta =2p,\; \; \alpha \beta =-1 \;

(1) \; \; 「\alpha ^n+ \beta ^n \; は整数であり、さらに偶数である。」　\cdots \; (\ast)

これを数学的帰納法により証明する。

[Ⅰ]　n=1 \; のとき、\alpha + \beta =2p

　　　p \; は正の整数だから、(\ast) \; は成り立つ。

　　　n=2 \; のとき、\alpha^2 + \beta^2 =( \alpha + \beta )^2-2 \alpha \beta =(2p)^2 -2 \times (-1)=2(2p^2+1)

　　　2p^2+1 \; は正の整数だから、(\ast) \; は成り立つ。

[Ⅱ]　n=k, \; k+1 \; のとき、(\ast) \; は成り立つと仮定すると、

　　　\alpha ^k+ \beta ^k, \; \; \alpha ^{k+1}+ \beta ^{k+1} \; は整数であり、さらに偶数である。　\cdots \; (\ast \ast)

　　　n=k+2 \; のとき、

　　　　　\alpha^{k+2} + \beta^{k+2} =( \alpha + \beta )(\alpha ^{k+1}+ \beta ^{k+1})- \alpha \beta(\alpha ^k+ \beta ^k)
　
　　　　　　　　　　　　　　=2p(\alpha ^{k+1}+ \beta ^{k+1})+(\alpha ^k+ \beta ^k)

　　　(\ast \ast) \; より、これは整数であり、偶数である。よって、(\ast) \; は成り立つ。

[Ⅰ]、[Ⅱ]より、すべての正の整数\; n \; に対して、(\ast) \; は成り立つ。（証明終）

　

(2) \; \; (1) \; より、\alpha ^n+ \beta ^n =2 \gamma _n \; 　（\gamma _n \; は整数）　　とできる。

\alpha ^n=2 \gamma _n - \beta ^n \; より、\sin (\alpha ^n \pi )= \sin (2 \gamma _n \pi - \beta ^n \pi )=- \sin ( \beta ^n \pi ) \;

ここで、\alpha \beta =-1 \; より、\displaystyle (- \alpha )^n = \frac{1}{\beta^n}

また、\; | \alpha | \gt 1 \; より、\displaystyle |\beta |=|- \frac{1}{\alpha}| = \frac{1}{|\alpha|} =\lt 1

よって、x= \beta^n \piとおくと、n \to \infty \; のとき、x \to 0 \;

したがって、\; \displaystyle \lim_{n \to \infty} (- \alpha )^n \sin (\alpha ^n \pi ) = \lim_{n \to \infty} \frac{-\sin (\beta ^n \pi )}{\beta^n} \;

　　　　　　\; \displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{-\pi \sin (\beta ^n \pi )}{\beta^n \pi} = \lim_{x \to 0} \frac{-\pi \sin x}{x} =-\pi \;

　

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