数学(理系)の第3問（2020京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $3$ 　問

　 $k \;$ を正の整数とする。座標空間において、原点 $\; \mathrm{O} \;$ を中心とする半径 $\; 1 \;$ の球面上の $\; 4 \;$ 点 $\; \mathrm{A},\; \mathrm{B},\; \mathrm{C},\; \mathrm{D} \;$ が次の関係式を満たしている。

　　　 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} =\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} =\frac{1}{2},$

　　　 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} =\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} =-\frac{\sqrt{6}}{4},$

　　　 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} =\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} =k$

このとき、 $k \;$ の値を求めよ。ただし、座標空間の点 $\; \mathrm{X},\; \mathrm{Y} \;$ に対して、 $\overrightarrow{\mathrm{OX}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OY}} \;$ は、 $\overrightarrow{\mathrm{OX}} \;$ と $\; \overrightarrow{\mathrm{OY}} \;$ の内積を表す。

解答

題意より、 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|= |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| = |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = |\overrightarrow{\mathrm{OD}}| =1 \; \; \; \cdots \;$ （ア）

また、 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 = |\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 = |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-2 \; \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 =1^2-2 \cdot \frac{1}{2}+1^2=1$

同様にして、 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2= |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|^2 =1 \; \; \; \cdots \;$ （イ）

$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2= |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2 =\frac{4+\sqrt{6}}{2} \; \; \; \cdots \;$ （ウ）　　 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^2= |\overrightarrow{\mathrm{BD}}|^2 =2-2k \; \; \; \cdots \;$ （エ）

辺 $\; \mathrm{AB} \;$ の中点を $\; \mathrm{M} \;$ とする。

（ウ）より、 $\bigtriangleup \mathrm{CAB} \;$ は二等辺三角形だから、 $\; \mathrm{AB} \perp \mathrm{CM}\;$

（エ）より、 $\bigtriangleup \mathrm{DAB} \;$ は二等辺三角形だから、 $\; \mathrm{AB} \perp \mathrm{DM}\;$

よって、直線 $\; \mathrm{AB} \;$ は平面 $\; \mathrm{MCD} \;$ に垂直である。

また、（ア）より、点 $\; \mathrm{O} \;$ は $\; 2 \;$ 点 $\; \mathrm{A}, \; \mathrm{B} \;$ から等しい距離にあるから、平面 $\; \mathrm{MCD} \;$ 上にある。

（ア）、（イ）より、 $\bigtriangleup \mathrm{OAB} \;$ は $\; 1 \;$ 辺の長さが $\; 1 \;$ の正三角形だから、 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OM}}|= \frac{\sqrt{3}}{2}$

また、 $\bigtriangleup \mathrm{OCD} \;$ も正三角形だから、 $\displaystyle \angle \mathrm{COD}= \frac{\pi}{3}$

$\; \mathrm{OM} \;$ が $\; \mathrm{OC} \;$ から、 $\; \mathrm{OD} \;$ と反対向きに $\; \theta \; \; \; (0 \leqq \theta \lt 2\pi) \;$ 回転したところにあるとする。

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} =\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} =\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)$

　　　　 $\displaystyle =\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$

また、 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} =|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|| \overrightarrow{\mathrm{OC}}|\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1 \cdot \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta$

よって、 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta =-\frac{\sqrt{6}}{4} \;$ より、 $\displaystyle \cos \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2} \;$

$0 \leqq \theta \lt 2\pi \;$ より、 $\displaystyle \theta =\frac{3}{4}\pi, \; \; \frac{5}{4}\pi \;$

$\displaystyle \theta =\frac{3}{4}\pi \;$ のとき、 $\displaystyle \angle \mathrm{MOD}= 2\pi -\left(\frac{\pi}{3}+\frac{3}{4}\pi\right)=\frac{11}{12}\pi$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} =\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} =\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}\right)$

　　　　 $\displaystyle =\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=k \gt 0 \; \; \; \cdots \;$ （オ）

また、 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} =|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|| \overrightarrow{\mathrm{OD}}|\cos \frac{11}{12}\pi \lt 0 \;$ となり、矛盾。

$\displaystyle \theta =\frac{5}{4}\pi \;$ のとき、 $\displaystyle \angle \mathrm{MOD}= 2\pi -\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5}{4}\pi\right)=\frac{5}{12}\pi$

ここで、 $\displaystyle \cos \frac{5}{12}\pi = \cos \left\{2\pi -\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5}{4}\pi\right)\right\}$

　　　 $\displaystyle =\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{5}{4}\pi\right)=\cos \frac{\pi}{3}\cos \frac{5}{4}\pi-\sin \frac{\pi}{3}\sin \frac{5}{4}\pi$

　　　 $\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

よって、 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} =|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|| \overrightarrow{\mathrm{OD}}|\cos \frac{5}{12}\pi$