高校数学の解き方

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数学(理系)の第5問（2020京都大学入試）

京都大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　5　問

　縦\; 4 \; 個、横\; 4 \; 個のマス目のそれぞれに\; 1,\; 2,\; 3,\; 4 \; の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも同じ数字が\; 1 \; 回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の\; 1 \; 例である。

\; \; 1 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 4 \; \;
\; \; 3 \; \; \; \; 4 \; \; \; \; 1 \; \; \; \; 2 \; \;
\; \; 4 \; \; \; \; 1 \; \; \; \; 2 \; \; \; \; 3 \; \;
\; \; 2 \; \; \; \; 3 \; \; \; \; 4 \; \; \; \; 1 \; \;

 

解答

\; 1 \; 行目を\; 1,\; 2,\; 3,\; 4 \; の順に並べて固定し、\; 2 \; 行目を\; 1 \; 行目と一致しない並びになる方法を、次の場合に分けて考える。

(\mathrm{i}) \; \; \; 4だけが一致し、\; 1, \; 2, \; 3 \; はどの数字も\; 1 \; 行目と一致しないのは、\; 2 \; 通りある。例を\; 1 \; 通りだけ示す。

例\displaystyle \qquad \frac{1\quad 2\quad 3\quad 4}{3\quad 1\quad 2\quad 4}

このとき、\; 4 \; と他のどの\; 3 \; つの数字と入れ替えても良い。つまり、\; 3 \; 通りある。

例の\; 1 \; の下の\; 3 \; と、\; 4 \; を入れ替えた例を示す。

例\displaystyle \qquad \frac{1\quad 2\quad 3\quad 4}{4\quad 1\quad 2\quad 3}

よって、この場合、\; 2\times 3=6 \; 通りになる。

　

(\mathrm{ii}) \; \; \; 4 \;が一致し、他の\; 3 \; 個の数字のうち\; 1 \; つだけ\; 1 \; 行目と一致するのは、\; 3 \; 通りある。例を\; 1 \; 通りだけ示す。

例\displaystyle \qquad \frac{1\quad 2\quad 3\quad 4}{1\quad 3\quad 2\quad 4}

このとき、\; 4 \; と他の一致している数字を入れ替えると良い。例で、\; 1 \; と\; 4 \; を入れ替えた例を示す。これは、\; 1 \; 通りなる。

例\displaystyle \qquad \frac{1\quad 2\quad 3\quad 4}{4\quad 3\quad 2\quad 1}

よって、この場合、\; 3\times 1=3 \; 通りになる。

　

(\mathrm{iii}) \; \; \; 4 \;が一致し、他の\; 3 \; 個の数字のうち\; 2 \; つが\; 1 \; 行目と一致すると残りも一致する。この場合、\; 4 \; と他の一致しているどの数字を入れ替えても、一致している数字が残る。よって、この場合は、題意のようにならない。

　

次に\; 3 \; 行目を考える。

(\mathrm{i}) \; のとき、\; 3 \; 行目に\; 4 \; が入るところは\; 2 \; 通りあり、そのどちらについても他は\; 1 \; 通りに決まる。\; 2 \; 通りとも示す。

例\displaystyle \qquad \cfrac{\cfrac{1\quad 2\quad 3\quad 4}{4\quad 1\quad 2\quad 3}}{3\quad 4\quad 1\quad 2} \quad \cfrac{\cfrac{1\quad 2\quad 3\quad 4}{4\quad 1\quad 2\quad 3}}{2\quad 3\quad 4\quad 1}

よって、この場合、\; 6\times 2=12 \; 通りになる。

　

(\mathrm{ii}) \; のとき、\; 2 \; 行目で\; 4 \; と入れ替えた数字の下の\; 3 \; 行目には、これら以外の\; 2 \; つの数字が\; 2 \; 通り入り、残り\; 2 \; つの数字の下の\; 3 \; 行目には、\; 4 \; と入れ替えた数字が\; 2 \; 通り入るから、\; 2 \times 2 =4 \; 通りになる。

例\displaystyle \qquad \cfrac{\cfrac{1\quad 2\quad 3\quad 4}{4\quad 3\quad 2\quad 1}}{2\quad 1\quad 4\quad 3} \quad \cfrac{\cfrac{1\quad 2\quad 3\quad 4}{4\quad 3\quad 2\quad 1}}{3\quad 4\quad 1\quad 2} \quad \cfrac{\cfrac{1\quad 2\quad 3\quad 4}{4\quad 3\quad 2\quad 1}}{3\quad 1\quad 4\quad 2} \quad \cfrac{\cfrac{1\quad 2\quad 3\quad 4}{4\quad 3\quad 2\quad 1}}{3\quad 4\quad 1\quad 2}

よって、この場合、\; 3\times 4=12 \; 通りになる。

　

\; 4 \; 行目は、\; 1 \; つの数字について、上の\; 3 \; 行で\; 3 \; 回使われているから、残りの列に\; 1 \; 通りに決まる。

したがって、(\mathrm{i}) \; と(\mathrm{ii}) \; を合わせて、\; 12+12=24 \; 通りになる。

このそれぞれについて、\; 1 \; 行目の数字入れ替え（つまり列の並び方）が、\; 4\; ! \; 通りある。

以上より、求めるすべての場合の数は、\; 24 \times 4\; ! =576\; \; 通りである。

 

　

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