数学(理系)の第6問（2020京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $6$ 　問

　 $x,\; y,\; z \;$ を座標とする空間において、 $xz \;$ 平面内の曲線

　　　　 $z= \sqrt{ \log (1+x) \; } \; \; \; (0 \leqq x \leqq 1) \;$

を $\; z \;$ 軸のまわりに $\; 1 \;$ 回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形を $\; S \;$ とする。この $\; S \;$ をさらに $\; x \;$ 軸のまわりに $\; 1 \;$ 回転させるとき、 $\; S \;$ が通過した部分よりなる立体を $\; V \;$ とする。このとき、 $\; V \;$ の体積を求めよ。

解答

$z= \sqrt{ \log (1+x) \; } \;$ は $\; \; 0 \leqq x \leqq 1 \; \;$ で、

　　　 $\displaystyle \frac{dz}{dx} =\frac{1}{2(1+x)\sqrt{ \log (1+x) \; }} \gt 0 \;$

だから、単調増加である。よって、 $\; 0 \leqq z \leqq \sqrt{ \log 2 \; } \;$

$z=t \;$ とすると、 $\displaystyle x=e^{t^2} -1 \;$

$\; S \;$ を平面 $\; z=t \;$ で切った切り口は円となり、

　　　 $\displaystyle x^2+y^2=\left( e^{t^2} -1 \right)^2 \;$

と表せる。これは、 $\; 0 \leqq t \leqq \sqrt{ \log 2 \; } \;$ で成り立つから、図形 $\; S \;$ の表す式は、

　　　 $\displaystyle x^2+y^2=\left( e^{z^2} -1 \right)^2 \; \; \; (0 \leqq z \leqq \sqrt{ \log 2 \; })\;$

となる。 $z \;$ の変化を考えると、ラッパのような形である。

（図は省略）

$\; S \;$ は平面 $\; x=0 \;$ について対称だから、 $\; x \geqq 0 \;$ で考える。

$\; S \;$ を平面 $\; x=u \; \; \; (0 \leqq u \leqq 1) \;$ で切った切り口を表す式は、

　　　 $\displaystyle u^2+y^2=\left( e^{z^2} -1 \right)^2 \; \; \; \cdots \; (\ast)$

となる。この両辺を $\; z \;$ で微分すると、 $\; u \;$ は定数だから、

　　　 $\displaystyle 2y \cdot \frac{dy}{dz} =2\left( e^{z^2} -1 \right) \cdot e^{z^2} \cdot 2z \; \;$ より

　　　 $\displaystyle \frac{dz}{dy} =\frac{y}{2ze^{z^2}\left( e^{z^2} -1 \right)}$

この切り口は $\; y=0 \;$ について対称だから、 $\; y \geqq 0 \;$ とする。 $\displaystyle 0 \leqq z, \; \; e^{z^2} \geqq 1 \;$ だから、

　　　 $\displaystyle \frac{dz}{dy} \geqq 0$

$\; y=0 \;$ のとき、 $z= \sqrt{ \log (1+u) \; }, \; \; z= \sqrt{ \log 2 \; } \;$ のとき、 $y= \sqrt{ 1-u^2 } \;$

$\; (\ast) \;$ の $\; y \geqq 0 \;$ の部分の増減表は次のようになる。

$\; \; y$	$\qquad 0$	$\cdots$	$\sqrt{ 1-u^2 }$
$\displaystyle \frac{dz}{dy}$	$\quad$	$\; +$	$\quad$
$\; \; z$	$\sqrt{ \log (1+u) \; }$	$\nearrow$	$\sqrt{ \log 2 \; }$