第 問
放物線のうちをみたす部分をとする。座標平面上の原点と点を考える。を実数とする。点が上を動き、点が線分上を動くとき、
をみたす点が動く領域の面積をとする。
およびを求めよ。
解答
点の座標を(定数)とすると、点が上を動くから
とすると、点の表す点がだから、点の表す点は
からだから、で、の実数だから
よって、点は上にある。
次に、点の座標をとすると、点が線分上を動くから
とすると、点の表す点がだから、点の表す点は
だから、点の表す点は
ここで、のとき、点の表す点をとするとで、
からだから、
よって、のときの点は上にある。
がの範囲で動くとき、点は線分上を動く。
したがって、がの範囲で動いてできるは、がの範囲で動くとき、に平行移動する。この平行移動によってできる領域が点が動く領域となる。また、この領域は、直線について対称である。
つまりのとき
この領域は直線と軸の間のの部分と、放物線と軸の間のの部分の和から、放物線と軸の間のの部分を引いたものの2倍となる。(図は省略)
つまりのとき
この領域は直線と軸の間のの部分から、放物線と軸の間のの部分を引いたものの2倍となる。(図は省略)
以上より
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